@phdthesis{Voss2013,
  author    = {Stefan Vo{\"s}},
  title     = {Realisierung von Quanten-Levy-Prozessen auf Fockr{\"a}umen},
  journal    = {Realisation of Quantum Levy Processes on Fock Spaces},
  url       = {https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-001593-2},
  year      = {2013},
  abstract  = {Im Rahmen des hier verwendeten abstrakten, nichtkommutativen Unabh{\"a}ngigkeitsbegriffs gibt es nach dem Klassifikationssatz von Muraki genau f{\"u}nf konkrete Unabh{\"a}ngigkeitsbegriffe: Tensor, boolesch, frei, monoton und antimonoton. Hierbei umfasst der Tensor-Fall den Unabh{\"a}ngigkeitsbegriff aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Quanten-Levy-Prozess (QLP) ist ein Prozess mit unabh{\"a}ngigen, station{\"a}ren Zuw{\"a}chsen, dessen Verteilung durch einen Generator g festgelegt ist. Die QLP und die Generatoren in dieser Arbeit sind auf den Voiculescuschen dualen Halbgruppen definiert. Ein Generator ist ein bedingt positives, lineares Funktional mit g(1)=0. Diese Arbeit untersucht das Problem, zu einem QLP mit gegebenem Generator einen QLP auf einen Fockraum mit demselben Generator anzugeben. Zur Problem wird in drei Teilen bearbeitet. Im ersten Teil wird f{\"u}r jede konkrete Unabh{\"a}ngigkeit die Existenz eines QLP zu gegebenem Generator g nachgewiesen. Hierbei wird die Schoenberg-Korrespondenz f{\"u}r duale Halbgruppen verwendet und ein Quanten-Kolomogoroff Satz f{\"u}r QLP gezeigt. Der zweite Teil, der zugleich den Hauptteil der Arbeit darstellt, besteht aus dem Transformationssatz f{\"u}r duale Halbgruppen. Dieser besagt in etwa, dass ein gegebener QLP mit Generator g unter einer Transformation genannten Abbildung k zwischen zwei dualen Gruppen zu einem QLP mit Generator k\•g transformiert werden kann. Dabei operieren der transformierte QLP und der urspr{\"u}ngliche QLP im Wesentlichen auf denselbem Raum. Der Beweis des Transformationssatzes wird ausschlie{\"s}lich auf dem abstrakten, nichtkommutativen Unabh{\"a}ngigkeitsbegriff aufgebaut. Dabei wird der Existenzsatz aus dem ersten Teil verwendet und die punktweise Konvergenz eines infinitesimalen Faltens des gegebenen QLP ausgewertet an einem normierten Vektor bewiesen. Somit sind alle f{\"u}nf konkreten Unabh{\"a}ngigkeitsbegriffe in einem einheitlichen Rahmen enthalten. Zu jedem konkreten nichtkommutativen Unabh{\"a}ngigkeitsbegriff werden im dritten Teil die besonders einfachen, additven QLP auf Fockr{\"a}umen betrachtet. Hierbei ist ein additiver QLP einfach die Summe aus einem Erzeugungs-, einem Erhaltungs- und einem Vernichtungsprozess auf einem Fockraum, sowie aus einem Generatoranteil. Die Realisierung von QLP auf Fockr{\"a}umen, also das oben genannte Problem, wird durch Transformieren eines passenden, additiven QLP erreicht. Insbesondere erhalten wir somit erstmals eine Realisierung von QLP auf Fockr{\"a}umen mithilfe der Transformationstheorie im freien Fall. In einer Anwendung wird das nichtkommutative Analogon der Unit{\"a}ren Gruppe als duale Gruppe betrachtet. Im freien Fall als konkreten, nichtkommutativen Unabh{\"a}ngigkeitsbegriff und aufgrund der Unitarit{\"a}t kann hier zus{\"a}tzlich bewiesen werden, dass auch auf Operator-Ebene ein infinitesimales Falten der additiven QLP in der starken Operatortopologie existiert. Weiterhin gilt im Gau{\"s}-Fall, das hei{\"s}t obiger Erhaltungsprozess-Anteil verschwindet, dass sogar Normkonvergenz vorliegt.},
  language  = {de}
}