TY  - THES
U1  - Dissertation / Habilitation
A1  - Gerhold, Malte
T1  - On Several Problems in the Theory of Comonoidal Systems and Subproduct Systems
N2  - The constructions of Lévy processes from convolution semigroups and of product systems from subproduct systems respectively, are formally quite similar. Since there are many more comparable situations in quantum stochastics, we formulate a general categorial concept (comonoidal systems), construct corresponding inductive systems and show under suitable assumptions general properties of the corresponding inductive limits. Comonoidal systems in different tensor categories play a role in all chapters of the thesis. Additive deformations are certain comonoidal systems of algebras. These are obtained by deformation of the algebra structure of a bialgebra. If the bialgebra is even a Hopf algebra, then compatibility with the antipode automatically follows. This remains true also in the case of braided Hopf algebras. Subproduct systems are comonoidal systems of Hilbert spaces. In the thesis we deal with the question, what are the possible dimensions of finite-dimensional subproduct systems. In discrete time, this can be reduced to the combinatorial problem of determining the complexities of factorial languages. We also discuss the rational and continuous time case. A further source for comonoidal systems are universal products, which are used in quantum probability to model independence. For the (r,s)-products, which were recently introduced by S. Lachs, we determine the corresponding product of representations by use of a generalized GNS-construction.
N2  - Die Konstruktionen von Lévy-Prozessen aus Faltungshalbgruppen bzw. von Produktsystemen aus Subproduktsystemen haben große formale Ähnlichkeit. Da in der Quantenstochastik noch viele weitere vergleichbare Situationen auftreten, formulieren wir ein allgemeines kategorielles Konzept (komonoidale Systeme), konstruieren zugehörige induktive Systeme und beweisen unter geeigneten Voraussetzungen allgemeine Eigenschaften der zugehörigen induktiven Limiten. Komonoidale Systeme in verschiedenen Tensorkategorien spielen in allen Kapiteln der Arbeit eine Rolle. Additive Deformationen sind gewisse komonoidale Systeme von Algebren. Diese entstehen durch Deformation der Algebrastruktur einer Bialgebra. Ist die Bialgebra sogar eine Hopf-Algebra, so folgt automatisch die Verträglichkeit mit der Antipode. Dies bleibt auch im Falle gezopfter Hopf-Algebren richtig. Subproduktsysteme sind komonoidale Systeme von Hilberträumen. In der Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage nach möglichen Dimensionen endlich-dimensionaler Subproduktsysteme. In diskreter Zeit kann dies auf die kombinatorische Frage nach den Komplexitäten faktorieller Sprachen zurückgeführt werden. Wir diskutieren auch den Fall rationaler und stetiger Zeit. Eine weitere Quelle für komonoidale Systeme sind universelle Produkte, die in der Quantenstochastik zur Modellierung von Unabhängigkeit benutzt werden. Zu den von S. Lachs neu eingeführten (r,s)-Produkten wird mit Hilfe einer verallgemeinerten GNS-Konstruktion das zugehörige Produkt von Darstellungen ermittelt.
KW  - Funktionalanalysis
KW  - Algebra
Y2  - 2014
U6  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-002244-6
UN  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-002244-6
ER  -