@phdthesis{Lass2015,
  author    = {Christoph Lass},
  title     = {Homotopie-Methoden zum L{\"o}sen von Optimalsteuerungsproblemen},
  journal    = {Homotopy methods for solving problems of optimal control},
  url       = {https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-002346-9},
  year      = {2015},
  abstract  = {In der Dissertation haben wir uns mit dem numerischen L{\"o}sen von unbeschr{\"a}nkten Optimalsteuerungsproblemen besch{\"a}ftigt. Dabei war das Ziel der Arbeit die Homotopie-Methode von Costanza zu untersuchen, kritisch zu hinterfragen und sie zu erweitern. Dazu haben wir zuerst Optimalsteuerungsprobleme untersucht und Resultate aus der Funktionalanalysis zitiert, die wir ben{\"o}tigen, um notwendige Bedingungen f{\"u}r ein unbeschr{\"a}nktes Optimalsteuerungsproblem herzuleiten. Die zentrale Idee dabei ist, dass wir ein {\"a}quivalentes, infinites Optimierungsproblem aufstellen und f{\"u}r dieses die notwendigen Bedingungen herleiten und beweisen. Die erhaltenen Resultate haben wir dann auf unbeschr{\"a}nkte Optimalsteuerungsprobleme {\"u}bertragen. Ziel des Ansatzes ist es, die unbekannten Anfangs- und Endwerte der Zust{\"a}nde und Adjungierten in Abh{\"a}ngigkeit von frei w{\"a}hlbaren Parametern zu berechnen, so dass nur noch ein reines Anfangs- oder Endwertproblem gel{\"o}st werden muss, welches numerisch einfacher zu handhaben ist. Dabei stellte sich im Verlauf der Arbeit heraus, dass Costanzas Ansatz nicht allgemeing{\"u}ltig ist und nur auf spezielle F{\"a}lle angewendet werden kann. Wir haben den urspr{\"u}nglichen Ansatz neu hergeleitet und an den kritischen Stellen angepasst, so dass dieser beispielunabh{\"a}ngig benutzt werden kann. Danach haben wir uns mit der numerische Umsetzung unseres Ansatzes befasst. Zum L{\"o}sen der gew{\"o}hnlichen Differentialgleichungssysteme mit gegebenen Anfangswerten benutzten wir ein in MATLAB implementiertes, explizites Runge-Kutta-Verfahren mit Schrittweitensteuerung. Ein wichtiger Punkt dabei war die Approximation der Jacobi-Matrix der Zustands- und Adjungiertengleichungen mit Hilfe von Complex step differentiation. Diese liefert schnellere und stabilere Approximationen an die ersten Ableitungen als z.B. der zentrale Differenzenquotient, da bei diesem numerische Ausl{\"o}schung auftreten kann. Weiterhin haben wir direkte und indirekte Verfahren genannt, die man zum L{\"o}sen von Optimalsteuerungsproblemen benutzen kann, um die Genauigkeit unseres Ansatzes zu {\"u}berpr{\"u}fen. Im letzten Kapitel haben wir unseren Ansatz an verschiedenen Beispielen getestet. Dabei haben wir zuerst unbeschr{\"a}nkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet, die alle sehr gut gel{\"o}st wurden. Dessen numerische L{\"o}sung wurde effizient und mit hoher Genauigkeit berechnet. Dies ist insbesondere bemerkenswert, da man mit anderen Ans{\"a}tzen oft eine gute Startl{\"o}sung ben{\"o}tigt, damit die jeweiligen Verfahren konvergieren. Abschlie{\"s}end haben wir Beispiele f{\"u}r beschr{\"a}nkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Diese haben wir mit unbeschr{\"a}nkten Optimalsteuerungsproblemen approximiert, wobei wir in dem Integranden eine Straffunktion eingef{\"u}hrt haben, die mit dem Parameter S gewichtet wurde. Somit konnten wir unter Anwendung unseres erweiterten Ansatzes die urspr{\"u}nglichen Probleme gut approximieren und f{\"u}r hinreichend gro{\"s}e S waren die L{\"o}sungen der unbeschr{\"a}nkten und beschr{\"a}nkten Probleme im numerischen Sinne identisch. Dabei unterschied sich in den Beispielen, wie gro{\"s} das S gew{\"a}hlt werden muss, um eine gute N{\"a}herung zu erhalten.},
  language  = {de}
}