TY  - THES
U1  - Dissertation / Habilitation
A1  - Kosytsina, Nadiya
T1  - Jump penalized L1-Regression
N2  - In this thesis we have considered a regression model of one dimensional noisy data with the regression function taken from the class L1 ([0, 1)) of absolutely integrable on the interval [0, 1) functions. In particular, we focused on the piecewise constant jump penalized estimators, which minimize the L1 version of the so called Potts functional (see e.g.[8]). Originally, the Potts functional is constructed as the jump penalized least square estimator of a function from the class L2 ([0, 1)) of square integrable on the interval [0, 1) functions. More precisely, in this work, the measure of fidelity of the estimator to the given data is assumed to be given by the average absolute deviation of the data points from the estimator. Additionally, the roughness of the estimator is controlled by the total number of its jumps. The underlying objective of this work is to develop a robust regression model, capable of dealing with data, which contains outliers. Following this, the reason behind the particular choice of the class of the estimator functions is dictated by the well known fact that the median is much less sensitive to the outliers than the average. Our main result concerns consistency of the minimizers of the L1-Potts functional that means the convergence of the corresponding minimizers to the original function f, which is unknown a priori. The only information available about this function is contained in the given noisy data.
N2  - Die vorgelegte Arbeit beschäftigt sich mit Kurvenschätzung in einem Regressionsmodell für eindimensionale verrauschte Daten, welche die Ausreißer enthalten können. Dabei ist die Regression Funktion, also Funktion welche a priori unbekannt ist und welche geschätzt werden soll, eine beliebige absolut-integrierbare Funktion auf dem Intervall [0, 1) und Regression Schätzer eine Stückweise-konstante Funktion auf dem Intervall [0, 1). Die von uns betrachtende Schätzer sind stückweise-konstante Funktionen, welche die L1-Version den sogenannten Potts Funktional minimieren (s. [8]). Das L1 Potts Funktional ist so gewählt, dass einerseits die Komplexität des Schätzers in Form der Anzahl ihrer Sprünge beachtet wird und anderseits die absolute Abweichungen von den Daten betrachtet werden. Die Stufen des Minimierers vom L1 Potts Funktional entsprechen den lokalen Medianen von verrauschten Daten, im Gegensatz dazu entsprechen die Stufen des Minimierers von dem klassischen Potts Funktional (L2-Fall) den lokalen Mittelwerten von den Daten. Der Vorteil der L1-Version gegenüber L2-Version des Potts Funktionals kann dadurch erklärt werden, dass die Mediane bekannterweise viel robuster gegen Ausreißer als Mittelwerte sind. In der vorgelegten Arbeit wurden die asymptotischen Eigenschaften sowohl von der L1 Potts Funktionals als auch von seinen Minimierer studiert. Unter anderem, es konnte die Konsistenz des Schätzers für den Fall, dass die Originalfunktion f selbst eine Stufenfunktion ist, gezeigt werden. Dies stellt das Hauptergebnis der Arbeit dar. Konsistenz heißt hier, dass unter bestimmten Bedingungen die Minimierer vom L1 Potts Funktional gegen die Originalfunktion f konvergieren.
KW  - Robuste Statistik
KW  - L1-Regression
KW  - Sprungbestrafte Schätzer
Y2  - 2012
U6  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-001279-6
UN  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-001279-6
ER  -