@phdthesis{Friedland2010,
  author    = {Ren{\´e} Friedland},
  title     = {Numerische L{\"o}sung von Optimalsteuerungsaufgaben unter Nebenbedingungen mit biologischen Anwendungen},
  journal    = {Numerical Solution of constrained optimal control problems with biological applications},
  url       = {https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-000849-5},
  year      = {2010},
  abstract  = {In dieser Dissertation wird ein Verfahren zur L{\"o}sung von Optimalsteuerungsaufgaben mit Steuer-Zustandsbeschr{\"a}nkungen vorgestellt. Dazu werden die notwendigen Bedingungen an eine optimale L{\"o}sung benutzt, die ein System aus algebraischen Gleichungen, Ungleichungen und Differentialgleichungen erzeugen. Dieses System wird mit einem Newton-{\"a}hnlichen Ansatz gel{\"o}st. Au{\"s}erdem wird die Erweiterung auf Problemen mit reinen Zustandsbeschr{\"a}nkungen vorgef{\"u}hrt. Eine deutliche Verbesserung der Konvergenzergebnisse kann durch die Anwendung der Fisher-Burmeister-Funktion auf die Komplementarit{\"a}tsbedingungen erzielt werden. Die Iterationsverfahren werden auf eine Reihe von restringierten Optimalsteuerungsaufgaben (Aufgaben mit reinen Steuerbeschr{\"a}nkungen, gemischten Steuer-Zustandbeschr{\"a}nkungen und reinen Zustandsbeschr{\"a}nkungen f{\"u}r einzelne Zeitpunkte und f{\"u}r das gesamte Optimierungsintervall) angewendet, um ihr Verhalten bei verschiedenen Startwerten sowie unterschiedlichen Schrittweitenans{\"a}tzen zu untersuchen. Dazu werden zum einen zwei aus der Literatur bekannte Aufgaben (das Rayleigh-Problem und das Minimum-Ernergy-Problem) gel{\"o}st und zum anderen werden zwei Probleme mit biologischem Hintergrund untersucht. So wird eine Optimalsteuerungsaufgabe aus der Fischerei um geeignete Einnahmenbedingungen erweitert, die absichern sollen, dass die Fischer keine l{\"a}ngeren Phasen ohne Kapitalzuwachs haben. Dazu wird zwischen einer globalen Bedingung und einer Bedingung f{\"u}r endlich viele Zeitpunkte unterschieden. Desweiteren wird ein Modell einer HIV-Erkrankung untersucht, bei dem die numerischen Verfahren, die die notwendigen Bedingungen an eine optimale L{\"o}sung benutzen, nur f{\"u}r geringe Behandlungszeiten (bis zu 50 Tage) das Problem l{\"o}sen. Es zeigt sich, dass die Stabilit{\"a}t dieser Verfahren deutlich verbessert werden kann, wenn das Modell um eine Obergrenze f{\"u}r die T-Zellen erweitert wird. Den Abschluss der Dissertation bildet ein Kapitel zur Konvergenzuntersuchung, in dem sich zeigt, dass die verwendeten Iterationsverfahren teilweise von sehr schlechter Konvergenzordnung sind, da die Bedingung f{\"u}r eine lineare Konvergenz nicht erf{\"u}llt wird.},
  language  = {de}
}