Open Access

Oliver Zacharias

• The collisionless tearing mode is investigated by means of the delta-f PIC code EUTERPE solving the gyrokinetic equation. In this thesis the first simulations of electromagnetic non-ideal MHD modes in a slab geometry with EUTERPE are presented. Linear simulations are carried out in the cases of vanishing and finite temperature gradients. Both cases are benchmarked using a shooting method showing that EUTERPE simulates the linearly unstable tearing mode to a very high accuracy. In the case of finite diamagnetic effects and values of the linear stability parameter Delta of order unity analytic predictions of the linear dispersion relation are compared with simulation results. The comparison validates the analytic results in this parameter range. Nonlinear single-mode simulations are performed in the small- to medium-Delta range measuring the dependency of the saturated island half width on the equilibrium current width. The results are compared with an analytic prediction obtained with a kinetic electromagnetic model. In this thesis the first simulation results in the regime of fast nonlinear reconnection~(medium- to high-Delta range) are presented using the standard gyrokinetic equation. In this regime a nonlinear critical threshold has been found dividing the saturated mode from the super-exponential phase for medium-Delta values. This critical threshold has been proven to occur in two slab equilibria frequently used for reconnection scenarios. Either changing the width of the equilibrium current or the wave number of the most unstable mode makes the threshold apparent. Extensive parameter studies including the variation of the domain extensions as well as the equilibrium current width are dedicated to a comprehensive overview of the critical threshold in a wide range of parameters. Additionally, a second critical threshold for high-Delta equilibria has been observed. A detailed comparison between a compressible gyrofluid code and EUTERPE is carried out. The two models are compared with each other in the linear regime by measuring growth rates over wave numbers of the most unstable mode for two setups of parameters. Analytical scaling predictions of the dispersion relation relevant to the low-Delta regime are discussed. Employing nonlinear simulations of both codes the saturated island half width and oscillation frequency of the magnetic islands are compared in the small-Delta range. Both models agree very well in the limit of marginal instability and differ slightly with decreasing wave vector. Recently, the full polarisation response in the quasi-neutrality equation was implemented in EUTERPE using the Padé approximation of the full gyrokinetic polarisation term. Linear simulation results including finite ratios of ion to electron temperature are benchmarked with the dispersion relation obtained from a hybrid model. Finite temperature effects influence the saturated island width slightly with increasing ion to electron temperature ratio which has been verified by both models.
• Die stoßfreie Tearingmode wird mit Hilfe des delta-f PIC Codes EUTERPE, welcher die gyrokinetische Gleichung löst, untersucht. In dieser Arbeit werden die ersten Simulationen elektromagnetischer, nichtidealer MHD Moden mit EUTERPE in Slabgeometrie vorgestellt. Dazu werden lineare Simulationen für die Fälle verschwindender und endlicher Temperaturgradienten durchgeführt. Beide Fälle werden einem Benchmark unterzogen unter Zuhilfenahme eines Schießverfahrens. Dieser Benchmark zeigt, daß EUTERPE die linear instabile Tearingmode mit hoher Präzision darstellen kann. Unter Einbeziehung endlicher diamagnetischer Effekte und nicht zu großer Werte für den Stabilitätsparameter Delta (von der Größenordnung eins) werden analytische Vorhersagen mit den Simulationsergebnissen verglichen. Der Vergleich bestätigt die Gültigkeit der analytischen Ergebnisse in diesem Parameterbereich. Nichtlineare Ein-Moden-Simulationen werden im Bereich kleiner bis nicht zu großer Delta-Werte durchgeführt, in denen die gesättigte Inselbreite in Abhängigkeit von der Breite des Gleichgewichtsstromes gemessen wird. Die Simulationsergebnisse werden mit einem analytischen Ergebnis verglichen, welches von einem kinetischen elektromagnetischen Modell abgeleitet wurde. In dieser Arbeit werden die ersten Simulationsergebnisse im Bereich schneller, nichtlinearer Rekonnektion (nicht zu große bis sehr große Delta-Werte) vorgestellt, welche mit Hilfe des Modells der Standardgyrokinetik gewonnen wurden. In diesem Regime wurde ein nichtlinearer kritischer Übergang für nicht zu große Delta-Werte entdeckt, der die gesättigte Mode von der superexponentiellen Phase trennt. Der kritische Übergang wurde in zwei Slabgleichgewichten nachgewiesen, welche häufig für Rekonnektionsszenarien verwendet werden. Der Übergang wird zum einen nachgewiesen, indem die Breite des Gleichgewichtsstromes verändert wird und zum anderen, indem die Wellenzahl der instabilsten Mode variiert wird. Es werden ausgiebige Parameterstudien durchgeführt, wodurch der kritische Übergang in einem breiten Parameterbereich untersucht wird. Dazu werden die Ausdehnungen der Simulationsdomäne als auch die Breite des Gleichgewichtsstromes verändert. Darüber hinaus wird ein zweiter kritischer Übergang im Bereich sehr großer Delta-Werte nachgewiesen. Es wird ein umfassender Vergleich zwischen einem kompressiblen Gyrofluidmodell und EUTERPE durchgeführt. Beide Modelle werden im linearen Bereich miteinander verglichen, indem die Anwachsraten in Abhängigkeit von der Wellenzahl der instabilsten Mode für zwei Sätze von Parametern gemessen werden. Es werden analytische Skalierungsvorhersagen der Dispersionsrelationen diskutiert, welche für den Bereich kleiner Delta-Werte relevant sind. Der Vergleich beider Modelle umfaßt nichtlineare Simulationen im Bereich kleiner Delta-Werte, wobei die gesättigte Inselbreite und Oszillationsfrequenz der magnetischen Inseln miteinander verglichen. Beide Modelle stimmen in der Nähe marginaler Instabilität sehr gut miteinander überein und weichen leicht voneinander ab mit kleiner werdender Wellenzahl. Kürzlich wurde der vollständige Polarisationsausdruck der Quasineutralitätsgleichung in EUTERPE implementiert, wobei die Padé-Approximation des Polarisationsterms verwendet wurde. Es werden lineare Simulationen mit einem endlichen Verhältnis der Ionen- zu Elektronentemperatur durchgeführt und diese mit einer analytischen Dispersionsrelation verglichen, welche aus einem Hybridmodell abgeleitet wurde. Mit beiden Codes wurde nachgewiesen, daß endliche Temperatureffekte kaum Einfluß auf die Breite der gesättigten magnetischen Inseln haben, wenn das Verhältnis Ionen- zu Elektronentemperatur vergrößert wird.