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Branching Dynamical Systems and Slices through Fractals

  • A slice is an intersection of a hyperplane and a self-similar set. The main purpose of this work is the mathematical description of slices. A suitable tool to describe slices are branching dynamical systems. Such systems are a generalisation of ordinary discrete dynamical systems for multivalued maps. Simple examples are systems arising from Bernoulli convolutions and beta-representations. The connection between orbits of branching dynamical systems and slices is demsonstrated and conditions are derived under which the geometry of a slice can be computed. A number of interesting 2-d and 3-d slices through 3-d and 4-d fractals is discussed.
  • Ein Schnitt ist der Durchschnitt einer Hyperebene mit einer selbstähnlichen Menge. Das Hauptanliegen der Arbeit ist die Bereitstellung des mathematischen Handwerkzeugs für die Rekonstruktion von Schnitten. Dazu eignen sich verzweigte dynamische Systeme, die eine Verallgemeinerung herkömmlicher diskreter dynmischer Systeme für mehrwertige Abbildungen sind. Einfache Beispiele verzweigter Systeme sind abgeleitet von Bernoullifaltungen und Beta-Darstellungen. Der Zusammenhang zwischen verzweigten Systemen mit Schnitten wird dargestellt und es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die Geometrie eines Schnittes berechenbar ist. Zahlreiche interessante 2- bzw. 3-dimensionale Schnitte durch 3- bzw. 4-dimensionale Fraktale werden diskutiert.

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Metadaten
Author: Rüdiger Zeller
URN:urn:nbn:de:gbv:9-002291-4
Title Additional (German):Verzweigte dynamische Systeme und Schnitte durch Fraktale
Advisor:Prof. Dr. Hui Rao, Prof. Dr. Christoph Bandt
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2015/08/20
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2015/06/22
Release Date:2015/08/20
Tag:Bernoulli convolution, Dynamical System, Slice, beta-representation, fractal, self-similarity
GND Keyword:Dynamische Systeme, Fraktal, Hausdorff-Dimension, Pisot-Zahl, Selbstähnlichkeit
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:05-XX COMBINATORICS (For finite fields, see 11Txx) / 05Cxx Graph theory (For applications of graphs, see 68R10, 81Q30, 81T15, 82B20, 82C20, 90C35, 92E10, 94C15) / 05C62 Graph representations (geometric and intersection representations, etc.) For graph drawing, see also 68R10
11-XX NUMBER THEORY / 11Bxx Sequences and sets / 11B85 Automata sequences
11-XX NUMBER THEORY / 11Kxx Probabilistic theory: distribution modulo 1; metric theory of algorithms / 11K16 Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc. [See also 11A63]