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Bitte verwenden Sie diesen Link, wenn Sie dieses Dokument zitieren oder verlinken wollen: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-001209-6

Entwicklung und Implementierung eines Verfahrens zur Verwendung der indirekten Methode zur Lösung von Optimalsteuerungsproblemen

  • Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von Optimalsteuerungsproblemen. Dazu wird das Maximumprinzip verwendet, dessen Anwendung auf ein Mehrpunktrandwertproblem führt. Die Aufgabe bestand nun darin, ein Programmpaket zu entwickeln, mit dem solche Mehrpunktrandwertprobleme mit der Mehrzielmethode numerisch gelöst werden können. Dabei wurden verschiedene Anforderungen an das zu entwickelnde Programm gestellt, die bereits existierende Programmpakete nicht oder nur eingeschränkt erfüllen. Die Bedienung soll durch die Verwendung einer grafischen Oberfläche intuitiver und komfortabler gestaltet werden. Ein weiteres Ziel besteht in der Problemunabhängigkeit des Quellcodes, sodass der Quellcode unangetastet bleiben kann. Außerdem sollen für die Benutzung des Programms keine Programmierkenntnisse notwendig sein. Der Funktionsumfang soll im Vergleich zu bestehenden Implementierungen erweitert werden, um die Möglichkeiten der Mehrzielmethode besser ausnutzen sowie die Methoden an das jeweilige zu lösende Problem anpassen zu können. Zunächst werden theoretische Grundlagen der optimalen Steuerung und des Maximumprinzips beschrieben. Die Mehrzielmethode wird vorgestellt und erweitert, sodass mit dieser auch Mehrpunktrandwertprobleme gelöst werden können. Ferner wird auf die Umsetzung der weiteren verwendeten mathematischen Methoden eingegangen. Dazu gehören das Newtonverfahren inklusive Dämpfung und Broydenupdate, verschiedenene Anfangswertproblemlöser (Dormand-Prince- und Rosenbrock-Typ-Verfahren) und die Singulärwertzerlegung, mit der die linearen Gleichungsssysteme gelöst werden. Außerdem werden die Komponenten und Funktionen des Programmpakets beschrieben, beispielsweise die Entwicklung der grafischen Oberfläche. Um das Einlesen der Daten eines Optimalsteuerungsproblems aus der grafischen Oberfläche in das Programm zu ermöglichen, wurde ein Parser verwendet. Die Software enthält Funktionen zur Erstellung von Plots und dem Export von Problemdaten in ein PDF-Dokument. Des Weiteren wird beschrieben, inwieweit die implementierten Verfahren an die Anforderungen eines spezifischen Optimalsteuerungsproblems angepasst werden können. Abschließend werden vier in ihrer Gestalt und ihrem Schwierigkeitsgrad sehr verschiedene Optimalsteuerungsprobleme beispielhaft gelöst. Dazu gehören beispielsweise das als Optimalsteuerungsproblem formulierte Brachistochrone- sowie das Min-Energy-Problem. Anhand der Lösung des Rayleigh-Problems wird gezeigt, wie man die zur Verfügung gestellten Optionen des Programmpakets sinnvoll nutzen kann, um eine Lösung zu bestimmen, die ein aussichtsreicher Kandidat für eine optimale Lösung ist. Abschließend wird ein Wiedereintrittsproblem einer Raumkapsel in die Erdumlaufbahn betrachtet, welches eine besondere Herausforderung darstellt, da das Differenzialgleichungssystem sehr empfindlich reagiert und Lösungen nur für einen kleinen Bereich von Startwerten existieren.
  • The present work deals with the numerical solution of optimal control problems. Therefore the maximum principle is used. Its application leads to a multi-point boundary value problem. Now the task is to develop a program package which ist able to solve such multi-point boundary value problems numerically using the multiple shooting method. Different demands on the Development of the software were made. The handling is designed more intuitive and more convenient by using a graphical user interface. Another goal is to assure that the problem data is independent of the source code, so that the source code can remain untouched. The user of the program doesn´t need any programming knowledge. The functionality will be expanded when compared to existing implementations to exploit the possibilities of the multiple shooting method and to adapt the methods to the problem to be solved. First, the theoretical basis of the optimal control and the maximum principle are described. The multiple shooting method is presented and extended, so that also multi-point boundary value problems can be solved with this method. It also discusses the implementation of other mathematical methods, which are used. These are the Newton method, including relaxation and using a Broyden-Update, several methods to solve initial value problems (Dormand-Prince and Rosenbrock-Method) and the singular value decomposition. In addition, the components and functions of the program package are described, for example the development of the graphical user interface. To facilitate the transfer of data of an optimal control problem from the graphical interface to the program, a parser was used. The software includes functionality for creating plots and exporting the problem data into a PDF document. Furthermore it is described how the implemented methods can be adapted to the requirements of a specific optimal control problem. Finally, four examples of optimal control problems which are very different in their shape and their difficulty are solved. This are for example the well-known brachistochrone problem, formulated as an optimal control problem, and the minimum energy problem. By solving the Rayleigh problem it is presented how the use of the available options relieves the determination of a solution that is a promising candidate for an optimal solution. Finally, a re-entry problem of a spacecraft into orbit is considered which constitutes a special challenge, since the differential equation system is very sensitive and there are solutions for only a small range of initial values.

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Metadaten
Author: Andreas May
URN:urn:nbn:de:gbv:9-001209-6
Title Additional (English):Development and implementation of a method for solving optimal control problems with the indirect method
Advisor:Prof. Dr. Bernd Kugelmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2012/04/16
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2012/03/30
Release Date:2012/04/16
Tag:Optimale Steuerung
GND Keyword:Numerische Mathematik
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik