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On Several Problems in the Theory of Comonoidal Systems and Subproduct Systems

  • The constructions of Lévy processes from convolution semigroups and of product systems from subproduct systems respectively, are formally quite similar. Since there are many more comparable situations in quantum stochastics, we formulate a general categorial concept (comonoidal systems), construct corresponding inductive systems and show under suitable assumptions general properties of the corresponding inductive limits. Comonoidal systems in different tensor categories play a role in all chapters of the thesis. Additive deformations are certain comonoidal systems of algebras. These are obtained by deformation of the algebra structure of a bialgebra. If the bialgebra is even a Hopf algebra, then compatibility with the antipode automatically follows. This remains true also in the case of braided Hopf algebras. Subproduct systems are comonoidal systems of Hilbert spaces. In the thesis we deal with the question, what are the possible dimensions of finite-dimensional subproduct systems. In discrete time, this can be reduced to the combinatorial problem of determining the complexities of factorial languages. We also discuss the rational and continuous time case. A further source for comonoidal systems are universal products, which are used in quantum probability to model independence. For the (r,s)-products, which were recently introduced by S. Lachs, we determine the corresponding product of representations by use of a generalized GNS-construction.
  • Die Konstruktionen von Lévy-Prozessen aus Faltungshalbgruppen bzw. von Produktsystemen aus Subproduktsystemen haben große formale Ähnlichkeit. Da in der Quantenstochastik noch viele weitere vergleichbare Situationen auftreten, formulieren wir ein allgemeines kategorielles Konzept (komonoidale Systeme), konstruieren zugehörige induktive Systeme und beweisen unter geeigneten Voraussetzungen allgemeine Eigenschaften der zugehörigen induktiven Limiten. Komonoidale Systeme in verschiedenen Tensorkategorien spielen in allen Kapiteln der Arbeit eine Rolle. Additive Deformationen sind gewisse komonoidale Systeme von Algebren. Diese entstehen durch Deformation der Algebrastruktur einer Bialgebra. Ist die Bialgebra sogar eine Hopf-Algebra, so folgt automatisch die Verträglichkeit mit der Antipode. Dies bleibt auch im Falle gezopfter Hopf-Algebren richtig. Subproduktsysteme sind komonoidale Systeme von Hilberträumen. In der Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage nach möglichen Dimensionen endlich-dimensionaler Subproduktsysteme. In diskreter Zeit kann dies auf die kombinatorische Frage nach den Komplexitäten faktorieller Sprachen zurückgeführt werden. Wir diskutieren auch den Fall rationaler und stetiger Zeit. Eine weitere Quelle für komonoidale Systeme sind universelle Produkte, die in der Quantenstochastik zur Modellierung von Unabhängigkeit benutzt werden. Zu den von S. Lachs neu eingeführten (r,s)-Produkten wird mit Hilfe einer verallgemeinerten GNS-Konstruktion das zugehörige Produkt von Darstellungen ermittelt.

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Author: Malte Gerhold
Title Additional (English):On Several Problems in the Theory of Comonoidal Systems and Subproduct Systems
Title Additional (German):Über einige Fragestellungen in der Theorie der komonoidalen Systeme und Subproduktsysteme
Advisor:Prof. Dr. Michael Schürmann
Document Type:Doctoral Thesis
Date of Publication (online):2015/06/01
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2015/02/02
Release Date:2015/06/01
GND Keyword:Algebra, Funktionalanalysis
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:16-XX ASSOCIATIVE RINGS AND ALGEBRAS (For the commutative case, see 13-XX) / 16Sxx Rings and algebras arising under various constructions / 16S80 Deformations of rings [See also 13D10, 14D15]
18-XX CATEGORY THEORY; HOMOLOGICAL ALGEBRA (For commutative rings see 13Dxx, for associative rings 16Exx, for groups 20Jxx, for topological groups and related structures 57Txx; see also 55Nxx and 55Uxx for algebraic topologyg) / 18Dxx Categories with structure / 18D10 Monoidal categories (= multiplicative categories), symmetric monoidal categories, braided categories [See also 19D23]
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Lxx Selfadjoint operator algebras (C*-algebras, von Neumann (W*-) algebras, etc.) [See also 22D25, 47Lxx] / 46L53 Noncommutative probability and statistics
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Lxx Selfadjoint operator algebras (C*-algebras, von Neumann (W*-) algebras, etc.) [See also 22D25, 47Lxx] / 46L57 Derivations, dissipations and positive semigroups in C*-algebras
68-XX COMPUTER SCIENCE (For papers involving machine computations and programs in a specific mathematical area, see Section {04 in that areag 68-00 General reference works (handbooks, dictionaries, bibliographies, etc.) / 68Rxx Discrete mathematics in relation to computer science / 68R15 Combinatorics on words