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Affine Iterated Function Systems, invariant measures and their approximation

  • We consider Iterated Function Systems (IFS) on the real line and on the complex plane. Every IFS defines a self-similar measure supported on a self-similar set. We study the transfer operator (which acts on the space of continuous functions on the self-similar set) and the Hutchinson operator (which acts on the space of Borel regular measures on the self-similar set). We show that the transfer operator has an infinitely countable set of polynomial eigenfunctions. These eigenfunctions can be regarded as generalized Bernoulli polynomials. The polynomial eigenfuctions define a polynomial approximation of the self-similar measure. We also study the moments of the self-similar measure and give recursions for computing them. Further, we develop a numerical method based on Markov chains to study the spectrum of the Hutchinson and transfer operators. This method provides numerical approximations of the invariant measure for which we give error bounds in terms of the Wasserstein-distance. The standard example in this thesis is the parametric family of Bernoulli convolutions.
  • Wir betrachten Iterierte Funktionensysteme (IFS) auf den reellen Zahlen und auf der komplexen Ebene. Jedes IFS definiert ein selbstaehnliches Maß dessen Traeger die selbstaehnliche Menge ist. Wir untersuchen den Transfer-Operator, der auf dem Raum der stetigen Funktionen auf der invarianten Menge wirkt, und den Hutchinson-Operator, der auf dem Raum der Borel regulaeren Maßen auf der selbstaehnlichen Menge wirkt. Wir zeigen, dass der Transfer-Operator eine unendlich abzaehlbare Menge von polynomialen Eigenfunktionen besitzt. Diese Eigenfunktionen koennen als verallgemeinerte Bernoulli Polynomen betrachtet werden. Die polynomialen Eigenfunktionen liefern eine polynomiale Approximation vom invarianten Maß. Wir untersuchen auch die Momente vom invarianten Maß und geben Rekursionen fuer deren Berechnung an. Weiterhin entwickeln wir eine numerische Methode, die auf Markov-Ketten basiert, um das Spektrum der Hutchinson und Trasfer-Operatoren zu untersuchen. Diese Methode liefert eine numerische Approximation vom selbstaehnlichen Maß, fuer die wir eine Fehlerabschaetzung in der Wassersteinmetrik geben. Das Standardbeispiel in dieser Arbeit ist die parametrische Familie von Benroulli-Faltungen.

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Metadaten
Author: Helena Peña
URN:urn:nbn:de:gbv:9-002765-0
Title Additional (German):Affine Iterierte Funktionensysteme, invariante Maße und deren Approximation
Advisor:Prof. Dr. Pablo Shmerkin, Prof. Dr. Christoph Bandt
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2017/04/27
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2016/11/30
Release Date:2017/04/27
Tag:Bernoulli-Faltungen, Hutchinson-Operator, Iteriertes Funktionensystem, Spektrum, Transfer-Operator, invariantes Maß
Bernoulli convolutions, Hutchinson Operator, Iterated Function System, Transfer Operator, invariant measure, spectrum
GND Keyword:Bernoulli-Faltungen, Hutchinson-Operator, Iteriertes Funktionensystem, Spektrum, Transfer-Operator, invariantes Maß
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:11-XX NUMBER THEORY / 11Bxx Sequences and sets / 11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
37-XX DYNAMICAL SYSTEMS AND ERGODIC THEORY [See also 26A18, 28Dxx, 34Cxx, 34Dxx, 35Bxx, 46Lxx, 58Jxx, 70-XX] / 37Mxx Approximation methods and numerical treatment of dynamical systems [See also 65Pxx] / 37M99 None of the above, but in this section
47-XX OPERATOR THEORY / 47Bxx Special classes of linear operators / 47B99 None of the above, but in this section
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Jxx Markov processes / 60J10 Markov chains (discrete-time Markov processes on discrete state spaces)