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The Spinor Bundle on Loop Space and its Fusion product

  • Given a manifold with a string structure, we construct a spinor bundle on its loop space. Our construction is in analogy with the usual construction of a spinor bundle on a spin manifold, but necessarily makes use of tools from infinite dimensional geometry. We equip this spinor bundle on loop space with an action of a bundle of Clifford algebras. Given two smooth loops in our string manifold that share a segment, we can construct a third loop by deleting this segment. If this third loop is smooth, then we say that the original pair of loops is a pair of compatible loops. It is well-known that this operation of fusing compatible loops is important if one wants to understand the geometry of a manifold through its loop space. In this work, we explain in detail how the spinor bundle on loop space behaves with respect to fusion of compatible loops. To wit, we construct a family of fusion isomorphisms indexed by pairs of compatible loops in our string manifold. Each of these fusion isomorphisms is an isomorphism from the relative tensor product of the fibres of the spinor bundle over its index pair of compatible loops to the fibre over the loop that is the result of fusing the index pair. The construction of a spinor bundle on loop space equipped with a fusion product as above was proposed by Stolz and Teichner with the goal of studying the Dirac operator on loop space". Our construction combines facets of the theory of bimodules for von Neumann algebras, infinite dimensional manifolds, and Lie groups and their representations. We moreover place our spinor bundle on loop space in the context of bundle gerbes and bundle gerbe modules.
  • Zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit mit einer String-Struktur können wir ein Spinorbündel auf ihrem Schleifenraum konstruieren. Unsere Konstruktion steht dabei in Analogie zu der üblichen Konstruktion eines Spinorbündels auf einer Spin-Mannigfaltigkeit, macht allerdings notwendigerweise Gebrauch von Werkzeugen aus der unendlich-dimensionalen Geometrie. Das Spinorbündel auf dem Schleifenraum erweitern wir durch eine Wirkung eines Clifford-Algebren-Bündels. Zu zwei glatten Schleifen in unserer String-Mannigfaltigkeit, die sich einen gemeinsamen Abschnitt teilen, können wir eine dritte Schleife konstruieren, indem wir den gemeinsamen Abschnitt löschen. Ist diese dritte Schleife wieder glatt, nennen wir die beiden ursprünglichen Schleifen miteinander kompatibel. Es ist allgemein bekannt, dass diese Operation des Vereinigens zweier kompatibler Schleifen wichtig ist, wenn man die Geometrie einer Mannigfaltigkeit anhand ihres Schleifenraums verstehen will. In dieser Arbeit erläutern wir im Detail wie sich das Spinorbündel auf dem Schleifenraum verhält in Bezug auf das Vereinigen kompatibler Schleifen. Dazu konstruieren wir eine Familie von Vereinigungsisomorphismen, die indiziert ist durch alle Paare kompatibler Schleifen in unserer String-Mannigfaltigkeit. Jeder dieser Vereinigungsisomorphismen ist dabei ein Isomorphismus vom Tensorprodukt der Fasern des Spinorbündels über den jeweiligen indizierten Paaren kompatibler Schleifen in die Faser über der Schleife, die das Resultat der Vereinigung des jeweiligen Paares ist. Die Konstruktion eines Spinorbündels auf dem Schleifenraum ausgestattet mit einem Vereinigungsprodukt wie oben beschrieben wurde durch Stolz und Teichner angeregt mit dem Ziel den Dirac-Operator auf dem Schleifenraum zu untersuchen. Unsere Konstruktion kombiniert dazu Aspekte aus der Theorie der Bimoduln über Von-Neumann-Algebren, unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen und deren Darstellungen. Desweiteren ordnen wir unser Spinorbündel auf dem Schleifenraum ein im Kontext von Bündelgerben und Bündelgerbenmoduln.

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Metadaten
Author: Peter Kristel
URN:urn:nbn:de:gbv:9-opus-35744
Title Additional (German):Das Spinorbündel über dem Schleifenraum und sein Fusionsprodukt
Referee:Prof. Dr. Konrad Waldorf, Prof. Dr. André Henriques, Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb
Advisor:Prof. Dr. Konrad Waldorf
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2020
Date of first Publication:2020/03/04
Granting Institution:Universität Greifswald, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2020/01/20
Release Date:2020/03/04
Tag:Bundle Gerbes, Infinite Dimensional Geometry, Mathematical Physics, String Geometry
GND Keyword:Geometrie
Pagenumber:106
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik