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Michaël Ulrich

• The history of Mathematics has been lead in part by the desire for generalization: once an object was given and had been understood, there was the desire to find a more general version of it, to fit it into a broader framework. Noncommutative Mathematics fits into this description, as its interests are objects analoguous to vector spaces, or probability spaces, etc., but without the commonsense interpretation that those latter objects possess. Indeed, a space can be described by its points, but also and equivalently, by the set of functions on this space. This set is actually a commutative algebra, sometimes equipped with some more structure: *-algebra, C*-algebra, von Neumann algebras, Hopf algebras, etc. The idea that lies at the basis of noncommutative Mathematics is to replace such algebras by algebras that are not necessarily commutative any more and to interpret them as "algebras of functions on noncommutative spaces". Of course, these spaces do not exist independently from their defining algebras, but facts show that a lot of the results holding in (classical) probability or (classical) group theory can be extended to their noncommutative counterparts, or find therein powerful analogues. The extensions of group theory into the realm of noncommutative Mathematics has long been studied and has yielded the various quantum groups. The easiest version of them, the compact quantum groups, consist of C*-algebras equipped with a *-homomorphism &Delta with values in the tensor product of the algebra with itself and verifying some coassociativity condition. It is also required that the compact quantum group verifies what is known as quantum cancellation property. It can be shown that (classical) compact groups are indeed a particular case of compact quantum groups. The area of compact quantum groups, and of quantum groups at large, is a fruitful area of research. Nevertheless, another generalization of group theory could be envisioned, namely by taking a comultiplication &Delta taking values not in the tensor product but rather in the free product (in the category of unital *-algebras). This leads to the theory of dual groups in the sense of Voiculescu, also called H-algebras by Zhang. These objects have not been so thoroughly studied as their quantum counterparts. It is true that they are not so flexible and that we therefore do not know many examples of them and showing that some relations cannot exist in the dual group case because they do not pass the coproduct. Nevertheless, I have been interested during a great part of my PhD work by these objects and I have made some progress towards their understanding, especially regarding quantum Lévy processes defined on them and Haar states.
• Die Geschichte der Mathematik ist teilweise vom Streben nach Verallgemeinerung geprägt worden. Sobald ein Objekt gründlich verstanden wurde, gab es immer den Wunsch eine verallgemeinerte Version besagten Objektes zu finden, oder es in einen weiteren Zusammenhang zu stellen. Die nichtkommutative Mathematik entspringt einem solchen Wunsche, denn sie interessiert sich für Räume, die (klassischen) Vektorräumen oder Wahrscheinlichkeitsräumen entsprechen, aber denen es an der "alltäglichen" Interpretation fehlt, die die klassischen Räume haben. Ein Raum kann nämlich immer nicht nur durch seine Punkte beschrieben werden, sondern auch durch die Menge aller Funktionen, die auf besagtem Raum definiert sind. Beide Standpunkte sind äquivalent. Die Menge dieser Funktionen hat die Struktur einer kommutativen Algebra; oft gibt es sogar noch mehr Struktur, wie z.B. *-Algebra, C*-Algebra, von Neumann Algebra, Hopf-algebra usw. Die Idee, die der nichtkommutativen Mathematik zugrunde liegt, ist daher solche Algebren durch Algebren zu ersetzen, die nicht mehr unbedingt kommutativ sind. Diese Algebren werden dann als "Algebren von Funktionen auf nichtkommutativen Räumen" interpretiert. Natürlich haben solche nichtkommutativen Räumen unabhängig von der Algebra, die sie definiert, keinen Bestand. Es stellt sich aber heraus, dass viele Resultate aus der (klassischen) Wahrscheinlichkeits- oder Gruppentheorie eine nichtkommutative Version haben. Die Verallgemeinerung der Gruppentheorie für eine nichtkommutative Mathematik ist schon lange bekannt und hat die verschiedenen Definitionen von Quantengruppen hervorgebracht. Die einfachste Version davon, die kompakten Quantengruppen, bestehen aus einer C*-Algebra, die mit einem *-Homomorphismus &Delta versehen ist, der seine Werte im Tensorprodukt der Algebra mit sich selbst annimmt. Außerdem muss die Algebra auch eine Eigenschaft erfüllen, die als "Quantum Cancellation Property" bezeichnet wird. Es kann bewiesen werden, dass die (klassischen) kompakten Gruppen tatsächlich ein Sonderfall der kompakten Quantengruppen darstellen. Das Gebiet der kompakten Quantengruppen, und der Quantengruppen generell, ist ein fruchtbarer Bereich der mathematischen Forschung. Allerdings könnte eine andere Verallgemeinerung der Gruppentheorie in Betracht gezogen werden. Die dualen Gruppen, die von D. Voiculescu erstmals definiert wurden, und die H-Algebren von J. J. Zhang genannt wurden, entsprechen kompakten Quantengruppen, aber die Komultiplikation &Delta nimmt Werte im freien Produkt (in der Kategorie der unitalen *-Algebren) anstelle des Tensorprodukts. Diese Objekte wurden nicht so gründlich studiert wie die Quantengruppen. Sie sind zwar nicht so flexibel und man kennt daher nur wenige Beispiele davon. Ich war aber in diesen Objekten interessiert und es gelang mir einige Fortschritte zu machen, insbesondere im Verstehen ihrer Quanten-Lévy-prozessen und ihrer Haar Zuständen.