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Bitte verwenden Sie diesen Link, wenn Sie dieses Dokument zitieren oder verlinken wollen: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:9-000560-1

Numerical approaches to complex quantum, semiclassical and classical systems

  • In this work we will analyse the capabilities of several numerical techniques for the description of different physical systems. Thereby, the considered systems range from quantum over semiclassical to classical and from few- to many-particle systems. For each case we address an interesting, partly unsolved question. Despite the different topics we address in the individual chapters, the problems under study are somehow related because we focus on the time evolution of the system. In chapter 1 we investigate the behaviour of a single quantum particle in the presence of an external disordered background (static potentials). Starting from the quantum percolation problem, we address the fundamental question of a disorder induced (Anderson-) transition from extended to localised single-particle eigenstates. Distinguishing isolating from conducting states by applying a local distribution approach for the local density of states (LDOS), we detect the quantum percolation threshold in two- and three-dimensions. Extending the quantum percolation model to a quantum random resistor model, we comment on the possible relevance of our results to the influence of disorder on the conductivity in graphene sheets. Furthermore, we confirm the localisation properties of the 2D percolation model by calculating the full quantum time evolution of a given initial state. For the calculation of the LDOS as well as for the Chebyshev expansion of the time evolution operator, the kernel polynomial method (KPM) is the key numerical technique. In chapter 2 we examine how a single quantum particle is influenced by retarded bosonic fields that are inherent to the system. Within the Holstein model, these bosonic degrees of freedom (phonons) give rise to an infinite dimensional Hilbert space, posing a true many-particle problem. Constituting a minimal model for polaron formation, the Holstein model allows us to study the optical absorption and activated transport in polaronic systems. Using a two-dimensional variant of the KPM, we calculate for the first time quasi-exactly the optical absorption and dc-conductivity as a function of temperature. Concerning the numerical technique, the close relation to the time evolution in the other chapters get clear if we identify temperature with an imaginary time. In chapter 3 we come back to the time evolution of a quantum particle in an external, static potential and investigate the capability of semiclassical approximations to it. Considering various one-dimensional geometries, we address basic quantum effects as tunneling, interference and anharmonicity. The question is, to which extend and at which numerical costs, several semiclassical methods can reproduce the exact result for the quantum dynamics, calculated by Chebyshev expansion. To this end we consider the linearised semiclassical propagator method, the Wigner-Moyal approach and the recently proposed quantum tomography. A conceptually very interesting aspect of the compared semiclassical methods is their relation to different representations of quantum mechanics (wave function/density matrix, Wigner function, quantum tomogram). Finally, in chapter 4 we calculate the dynamics of a classical many-particle system under the influence of external fields. Considering a low-temperature rf-plasma, we investigate the interplay of the plasma dynamics and the motion of dust particles, immersed into the plasma for diagnostic reasons. In addition to the huge number of involved particles, the numerical description of this systems faces the challenge of a large range of involved time and length scales. Exploiting the mass differences of plasma constituents and dust particles allows for separating the PIC description of the plasma from the MD simulation of the dust particles in the effective surrounding plasma.
  • In dieser Arbeit analysieren wir die Eignung verschiedener numerischer Methoden zur Beschreibung physikalischer Systeme. Die betrachteten Systeme decken den Bereich von quantenmechanischen über semiklassische zu klassischen Systemen sowie von Wenig- zu Vielteilchensystemen ab. In jedem dieser Fälle wenden wir uns einer interessanten, zum Teil ungelösten Fragestellung zu. Trotz der Verschiedenheit der jeweiligen Themen stellt die Fokussierung auf die Zeitentwicklung der jeweiligen Systeme ein verbindendes Element dar. In Kapitel 1 untersuchen wir das Verhalten eines Quantenteilchens in einem ungeordneten Hintergrundmedium (statische Potentiale). Ausgehend vom Quantenperkolationsproblem wenden wir uns der fundamentalen Frage des unordnungsinduzierten (Anderson-)Übergangs von ausgedehnten zu lokalisierten Einteilchen-Eigenzuständen zu. Indem wir nichtleitende von leitenden Zuständen mit Hilfe des lokales Verteilungszugangs für die lokale Zustandsdichte (LDOS) unterscheiden können, bestimmen wir die Quantenperkolationsschwelle in zwei und drei Dimensionen. Die Erweiterung des Quantenperkolationsmodells auf das Modell ein Quantenwiderstandsnetzes ermöglicht es uns, Aussagen über den Einfluss von Unordnungseffekten auf die Leitfähigkeit in Graphen-Schichten zu treffen. Eine weitere Bestätigung der Lokalisierungseigenschaften des 2D Perkolationsmodells erreichen wir durch die Berechnung der quantenmechanischen Zeitentwicklung eines vorgegebenen Anfangszustandes. Sowohl für die Berechnung der LDOS wie auch der Chebyshev-Entwicklung des Zeitentwicklungsoperators ist die Polynomkernmethode (KPM) die grundlegende numerische Technik. In Kapitel 2 untersuchen wir, wie ein Quantenteilchen durch zum System gehörige, retardierte bosonische Felder beeinflusst wird. Innerhalb des Holstein-Modells führen diese bosonischen Freiheitsgrade (Phononen) zu einem unendlich dimensionalen Hilbertraum und somit zu einem echten Vielteilchenproblem. Als Minimalmodell für Polaronbildung ermöglicht das Holstein-Modell die Untersuchung von optischen Absorption und aktiviertem Transport in polaronischen Systemen. Mittels einer zweidimensionalen Variante der KPM berechnen wir erstmalig quasi näherungsfrei die Temperaturabhängigkeit der optische Absorption und der Gleichstromleitfähigkeit. Der enge Zusammenhang der numerischen Methode mit der Zeitentwicklung in den anderen Kapiteln zeigt sich, wenn man die Temperatur als imaginäre Zeit auffasst. In Kapitel 3 untersuchen die Anwendbarkeit semiklassischer Methoden für die Berechnung der Zeitentwicklung eines Quantenteilchens in einem externen, statischen Potential. Im Rahmen verschiedener eindimensionaler Geometrien betrachten wir grundlegende Quanteneffekte wie Tunneln, Interferenz und Anharmonizitäten. Die Frage hierbei ist, in welchem Maße und zu welchen numerischen Kosten verschiedene semiklassische Methoden die (mittels Chebyshev-Entwicklung berechneten) exakten Ergebnisse reproduzieren können. Hierzu betrachten wir die linearisierte semiklassische Propagator Methode, den Wigner-Moyal-Zugang sowie die kürzlich vorgeschlagene Quantentomographie. Konzeptionell hervorzuheben ist, dass die verschiedenen Methoden auf unterschiedlichen Darstellungen der Quantenmechanik beruhen: Wellenfunktion/Dichtematrix, Wigner-Funktion und Quantentomogramm. Abschließend betrachten wir in Kapitel 4 die Dynamik eines klassischen Vielteilchensystems unter dem Einfluss äußerer Felder. In einem Niedertemperaturplasma untersuchen wir das Zusammenspiel zwischen Plasmadynamik und der Bewegung von Staubteilchen, die zu Diagnosezwecken in das Plasma eingebracht werden. Zusätzlich zu der großen Anzahl beteiligter Teilchen liegt die numerische Herausforderung bei der Beschreibung des Systems in der großen Spanne beteiligter Zeit- und Längenskalen. Berücksichtigt man den Massenunterschied von Plasmabestandteilen und Staubtilchen, so ermöglicht dies, die PIC-Beschreibung des Plasmas von der MD-Simulation der Staubteilchen in dem umgebenden, effektiven Plasma zu separieren.

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Metadaten
Author: Gerald Schubert
URN:urn:nbn:de:gbv:9-000560-1
Title Additional (German):Numerische Zugänge zur Beschreibung komplexer quantenmechanischer, semiklassischer und klassischer Systeme
Advisor:Prof. Dr. Holger Fehske
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2009/01/16
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2008/12/15
Release Date:2009/01/16
GND Keyword:Computerphysik
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Physik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 530 Physik
PACS-Classification:00.00.00 GENERAL / 03.00.00 Quantum mechanics, field theories, and special relativity (see also section 11 General theory of fields and particles) / 03.65.-w Quantum mechanics [see also 03.67.-a Quantum information; 05.30.-d Quantum statistical mechanics; 31.30.J- Relativistic and quantum electrodynamics (QED) effects in atoms, molecules, and ions in atomic physics] / 03.65.Sq Semiclassical theories and applications
00.00.00 GENERAL / 03.00.00 Quantum mechanics, field theories, and special relativity (see also section 11 General theory of fields and particles) / 03.65.-w Quantum mechanics [see also 03.67.-a Quantum information; 05.30.-d Quantum statistical mechanics; 31.30.J- Relativistic and quantum electrodynamics (QED) effects in atoms, molecules, and ions in atomic physics] / 03.65.Wj State reconstruction, quantum tomography
00.00.00 GENERAL / 05.00.00 Statistical physics, thermodynamics, and nonlinear dynamical systems (see also 02.50.-r Probability theory, stochastic processes, and statistics) / 05.60.-k Transport processes / 05.60.Gg Quantum transport
70.00.00 CONDENSED MATTER: ELECTRONIC STRUCTURE, ELECTRICAL, MAGNETIC, AND OPTICAL PROPERTIES / 71.00.00 Electronic structure of bulk materials (see section 73 for electronic structure of surfaces, interfaces, low-dimensional structures, and nanomaterials; for electronic structure of superconductors, see 74.25.Jb) / 71.23.-k Electronic structure of disordered solids / 71.23.An Theories and models; localized states
70.00.00 CONDENSED MATTER: ELECTRONIC STRUCTURE, ELECTRICAL, MAGNETIC, AND OPTICAL PROPERTIES / 71.00.00 Electronic structure of bulk materials (see section 73 for electronic structure of surfaces, interfaces, low-dimensional structures, and nanomaterials; for electronic structure of superconductors, see 74.25.Jb) / 71.30.+h Metal-insulator transitions and other electronic transitions
70.00.00 CONDENSED MATTER: ELECTRONIC STRUCTURE, ELECTRICAL, MAGNETIC, AND OPTICAL PROPERTIES / 71.00.00 Electronic structure of bulk materials (see section 73 for electronic structure of surfaces, interfaces, low-dimensional structures, and nanomaterials; for electronic structure of superconductors, see 74.25.Jb) / 71.38.-k Polarons and electron-phonon interactions (see also 63.20.K- Phonon interactions in lattice dynamics) / 71.38.Ht Self-trapped or small polarons
70.00.00 CONDENSED MATTER: ELECTRONIC STRUCTURE, ELECTRICAL, MAGNETIC, AND OPTICAL PROPERTIES / 72.00.00 Electronic transport in condensed matter (for electronic transport in surfaces, interfaces, and thin films, see section 73; for electrical properties related to treatment conditions, see 81.40.Rs; for transport properties of superconductors, see 74.25.Fy; / 72.15.-v Electronic conduction in metals and alloys / 72.15.Rn Localization effects (Anderson or weak localization)
70.00.00 CONDENSED MATTER: ELECTRONIC STRUCTURE, ELECTRICAL, MAGNETIC, AND OPTICAL PROPERTIES / 74.00.00 Superconductivity (for superconducting devices, see 85.25.-j) / 74.25.-q Properties of type I and type II superconductors / 74.25.Fy Transport properties (electric and thermal conductivity, thermoelectric effects, etc.)