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Optimales Design einer Zylinderschale - eine Problemstellung der optimalen Steuerung in der Linearen Elastizitätstheorie

  • In dieser Dissertation wird eine Problemstellung der Optimalen Steuerung aus dem Bereich der Linearen Elastizitätstheorie dargelegt und gelöst. Die Dissertation gliedert sich in die folgenden Schwerpunkte: Modellierung der Problemstellung, Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den zeitunabhängigen (stationären) bzw. zeitabhängigen (instationären) Problem, die Herleitung der notwendigen Bedingungen für eine ermittelte optimale Lösung und die Berechnung von numerischen Lösungen des stationären bzw. instationären Problems sowie deren Überprüfung der Erfüllung der notwendigen Bedingungen. In der Modellierung werden Gleichungen zur Bestimmung der Deformation (Auslenkung) einer Zylinderschale unter rotations-symmetrischer Krafteinwirkung aus Grundgleichungen der Mechanik (Kräftegleichgewicht, Impulserhaltungssatz) hergeleitet. Bei dieser Herleitung werden die Hypothesen von Mindlin und Reissner verwendet und die spezielle Geometrie der Zylinderschale berücksichtigt. Die Dissertation erbringt den Nachweis der Existenz einer Lösung der modellierten Gleichungen im schwachen Sinne, d.h. für Lösungen in Sobolev-Räumen. Für die Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den stationären und instationären Fall für Praxis relevante Problemstellungen setzen wir das Volumen des Zylinderrohres als konstant voraus (Volumenbedingung). Die Zielstellung der Optimalsteerungsprobleme besteht darin eine optimale Dicke zu bestimmen, welche die integrale Deformation (Auslenkung) der Zylinderschale (im instationären Fall zu einer ausgezeichneten Zeit) minimiert. Eine optimale Lösung (optimale Dicke) muss die notwendige Bedingung erster Ordnung (Variationsungleichung) für alle zulässigen Dicken, welche auch der Volumenbedingung genügen, erfüllen. Die Herleitung der konkreten Form dieser notwendigen Bedingungen für den stationären bzw. für die instationären Fälle wird in der Dissertation dargelegt. Durch die Verwendung der zugehörigen adjungierten Zustände können die notwendigen Bedingungen effizienter formuliert werden. Zur Berechnung einer Lösung der Gleichungen im stationären Fall bzw. in den instationären Fällen wurde die Finite Elemente Methode bzw. die Rothe-Methode im zeitabhängigen Fall verwendet, wobei die Lösungsräume exakt berücksichtigt werden. Das Optimierungsproblem wird diskretisiert und mit fmincon aus der Optimization-Toolbox von Matlab gelöst. Die damit berechneten diskreten optimalen Lösungen (optimale Dicke) für die einzelnen Problemstellungen werden auf die Erfüllung der notwendigen Bedingungen getestet. Die Dissertation wird durch viele Beispiel-Rechnungen abgerundet und deren Lösungen in grafischer Form präsentiert.
  • In this PhD thesis, a problem of optimal control in the field of linear elasticity theory is presented and solved. The thesis is divided into the following areas: modeling of the problem, formulation of optimal control for time-independent (stationary) or time-dependent (unsteady) problem, the derivation of necessary conditions for an optimal obtained solution and the calculation of numerical solutions of the stationary or transient problem and verify the completion of necessary conditions. In the modeling equations for the deformation (displacement) of a cylindrical shell under rotationally symmetrical force from the basic equations of mechanics (forces balance, momentum conservation law) are derived. Until this derivation are the assumptions of Mindlin and Reissner used and the special geometry of the cylindrical shell takes into account. The PhD thesis provides evidence of the existence of a solution of the modeled equations in the weak sense that is for solutions in Sobolev spaces. For the formulation of optimal control for the steady and unsteady cases for practice-relevant problems, we assume the volume of the cylindrical tube a constant (volume condition). The aim of the optimal control is to determine an optimum thickness, which minimizes the integral deformation (displacement) of the cylinder shell (in the unsteady case, an certain time). An optimal solution (optimal thickness) should carry out the first order necessary condition (variation equation) for all permissible thicknesses that also satisfy the volume condition. The derivation of the concrete form of the necessary conditions for the steady and unsteady cases is presented in this PhD thesis. By using the corresponding adjoint states, the necessary conditions may be formulated more efficiently. To calculate a solution of the equation in the stationary case and in the unsteady cases, the finite element method or the Rothe method has been used in time-dependent case, and the solution spaces will be considered. The optimal control problem is discretized and solved using fmincon from the Optimization Toolbox of Matlab. The calculated discrete optimal solutions (optimal thickness) for the individual problems, are to be tested to meet the necessary conditions. The PhD thesis is presented by many such rounded calculations and their solutions in graphical form.

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Metadaten
Author: Peter Nestler
URN:urn:nbn:de:gbv:9-000775-6
Title Additional (English):Optimal design of cylindrical shell - an optimal control problem in the theory of linear elasticity
Advisor:Prof. Werner Schmidt
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2010/04/09
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2010/03/12
Release Date:2010/04/09
GND Keyword:Lineare Elastizitätstheorie, Numerische Mathematik, Optimale Steuerung, Schalentheorie
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik