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Numerische Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben unter Nebenbedingungen mit biologischen Anwendungen

  • In dieser Dissertation wird ein Verfahren zur Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben mit Steuer-Zustandsbeschränkungen vorgestellt. Dazu werden die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzt, die ein System aus algebraischen Gleichungen, Ungleichungen und Differentialgleichungen erzeugen. Dieses System wird mit einem Newton-ähnlichen Ansatz gelöst. Außerdem wird die Erweiterung auf Problemen mit reinen Zustandsbeschränkungen vorgeführt. Eine deutliche Verbesserung der Konvergenzergebnisse kann durch die Anwendung der Fisher-Burmeister-Funktion auf die Komplementaritätsbedingungen erzielt werden. Die Iterationsverfahren werden auf eine Reihe von restringierten Optimalsteuerungsaufgaben (Aufgaben mit reinen Steuerbeschränkungen, gemischten Steuer-Zustandbeschränkungen und reinen Zustandsbeschränkungen für einzelne Zeitpunkte und für das gesamte Optimierungsintervall) angewendet, um ihr Verhalten bei verschiedenen Startwerten sowie unterschiedlichen Schrittweitenansätzen zu untersuchen. Dazu werden zum einen zwei aus der Literatur bekannte Aufgaben (das Rayleigh-Problem und das Minimum-Ernergy-Problem) gelöst und zum anderen werden zwei Probleme mit biologischem Hintergrund untersucht. So wird eine Optimalsteuerungsaufgabe aus der Fischerei um geeignete Einnahmenbedingungen erweitert, die absichern sollen, dass die Fischer keine längeren Phasen ohne Kapitalzuwachs haben. Dazu wird zwischen einer globalen Bedingung und einer Bedingung für endlich viele Zeitpunkte unterschieden. Desweiteren wird ein Modell einer HIV-Erkrankung untersucht, bei dem die numerischen Verfahren, die die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzen, nur für geringe Behandlungszeiten (bis zu 50 Tage) das Problem lösen. Es zeigt sich, dass die Stabilität dieser Verfahren deutlich verbessert werden kann, wenn das Modell um eine Obergrenze für die T-Zellen erweitert wird. Den Abschluss der Dissertation bildet ein Kapitel zur Konvergenzuntersuchung, in dem sich zeigt, dass die verwendeten Iterationsverfahren teilweise von sehr schlechter Konvergenzordnung sind, da die Bedingung für eine lineare Konvergenz nicht erfüllt wird.
  • In this dissertation, a method for the solution of optimal-control-tasks with control-state-constraints is presented. Therefore the necessary conditions are used, that produce a system of equations, inequalities and differential equations. This system is solved with a Newton-like approach. In addition, the extension to problems with pure state-constraints is presented. A clear improvement of the convergence results can be achieved by application of the Fisher-Burmeister-Function on the complementary conditions. The iteration methods are used for the solution of a number of restricted optimal control problems (tasks with pure control constraints, mixed control-state-constraints and pure state-constraints for only several timepoints and for the whole optimization interval) to test their behavior with respect to various initial values and different stepsize-approaches. Therefore two from literature known tasks (the Rayleigh-Problem and the Minimum-Energy-Problem) are solved. On the other hand two problems with biological background are studied. Thus an optimal control task from fishery is expanded by an income condition to secure that the fishermen have not too long periods with no income-increase. Therefore it is distinguished between a global constraint and a condition for a finite number of timepoints. Furthermore a model of a HIV-disease is investigated, in which the numerical procedure, that uses the necessary conditions, only solves the task for quite short treatment times (up to 50 days). It turns out that the stability of the method can be significantly improved if the model is expanded by an upper limit of the T-cells. The completion of the dissertation builds a chapter on the convergence behaviour, in which is showed that the iteration method is of a poor convergence order, since the condition for a linear convergence is not satisfied.

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Metadaten
Author: René Friedland
URN:urn:nbn:de:gbv:9-000849-5
Title Additional (English):Numerical Solution of constrained optimal control problems with biological applications
Advisor:Prof. Dr. Bernd Kugelmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2010/09/29
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2010/08/28
Release Date:2010/09/29
GND Keyword:Mathematische Modellierung, Numerische Mathematik, Optimale Kontrolle
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik