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Realisierung von Quanten-Levy-Prozessen auf Fockräumen

  • Im Rahmen des hier verwendeten abstrakten, nichtkommutativen Unabhängigkeitsbegriffs gibt es nach dem Klassifikationssatz von Muraki genau fünf konkrete Unabhängigkeitsbegriffe: Tensor, boolesch, frei, monoton und antimonoton. Hierbei umfasst der Tensor-Fall den Unabhängigkeitsbegriff aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Quanten-Levy-Prozess (QLP) ist ein Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen, dessen Verteilung durch einen Generator g festgelegt ist. Die QLP und die Generatoren in dieser Arbeit sind auf den Voiculescuschen dualen Halbgruppen definiert. Ein Generator ist ein bedingt positives, lineares Funktional mit g(1)=0. Diese Arbeit untersucht das Problem, zu einem QLP mit gegebenem Generator einen QLP auf einen Fockraum mit demselben Generator anzugeben. Zur Problem wird in drei Teilen bearbeitet. Im ersten Teil wird für jede konkrete Unabhängigkeit die Existenz eines QLP zu gegebenem Generator g nachgewiesen. Hierbei wird die Schoenberg-Korrespondenz für duale Halbgruppen verwendet und ein Quanten-Kolomogoroff Satz für QLP gezeigt. Der zweite Teil, der zugleich den Hauptteil der Arbeit darstellt, besteht aus dem Transformationssatz für duale Halbgruppen. Dieser besagt in etwa, dass ein gegebener QLP mit Generator g unter einer Transformation genannten Abbildung k zwischen zwei dualen Gruppen zu einem QLP mit Generator k•g transformiert werden kann. Dabei operieren der transformierte QLP und der ursprüngliche QLP im Wesentlichen auf denselbem Raum. Der Beweis des Transformationssatzes wird ausschließlich auf dem abstrakten, nichtkommutativen Unabhängigkeitsbegriff aufgebaut. Dabei wird der Existenzsatz aus dem ersten Teil verwendet und die punktweise Konvergenz eines infinitesimalen Faltens des gegebenen QLP ausgewertet an einem normierten Vektor bewiesen. Somit sind alle fünf konkreten Unabhängigkeitsbegriffe in einem einheitlichen Rahmen enthalten. Zu jedem konkreten nichtkommutativen Unabhängigkeitsbegriff werden im dritten Teil die besonders einfachen, additven QLP auf Fockräumen betrachtet. Hierbei ist ein additiver QLP einfach die Summe aus einem Erzeugungs-, einem Erhaltungs- und einem Vernichtungsprozess auf einem Fockraum, sowie aus einem Generatoranteil. Die Realisierung von QLP auf Fockräumen, also das oben genannte Problem, wird durch Transformieren eines passenden, additiven QLP erreicht. Insbesondere erhalten wir somit erstmals eine Realisierung von QLP auf Fockräumen mithilfe der Transformationstheorie im freien Fall. In einer Anwendung wird das nichtkommutative Analogon der Unitären Gruppe als duale Gruppe betrachtet. Im freien Fall als konkreten, nichtkommutativen Unabhängigkeitsbegriff und aufgrund der Unitarität kann hier zusätzlich bewiesen werden, dass auch auf Operator-Ebene ein infinitesimales Falten der additiven QLP in der starken Operatortopologie existiert. Weiterhin gilt im Gauß-Fall, das heißt obiger Erhaltungsprozess-Anteil verschwindet, dass sogar Normkonvergenz vorliegt.
  • In the abstract notion of non-commutative independence used in this thesis and due to the classification by Muraki, there are exactly five concrete notions of non-commutative independence: tensor, boole, free, monotone and antimonotone. The independence known from classical probability theory is contained in the tensor case. A quantum Levy process (QLP) is a process with independent and stationary increments. Its distribution is determined by a generator g. In this thesis, QLPs and generators are defined on Voiculescu dual semigroups. A generator is a conditionally positive, linear functional with g(1)=0. For a given QLP with a certain generator we show how to construct a QLP over a Fock space with the same generator. This is done in three steps. We start by showing the existence of a QLP associated to a given generator and with respect to any concrete notion of independence. For this, we use the Schoenberg correspondence on dual semigroups and prove a Kolomogorov theorem for QLP. The second and most vital part of this work provides a transformation theorem for dual semigroups. Roughly speaking, this theorem transforms a certain QLP with generator g to a QLP with generator k•g, where k is an appropriate map between two dual semigroups called transformation. Moreover, the transformed QLP and the original one basically operate on the same space. The proof of the transformation theorem is solely based on the abstract notion of non-commutative independence. The existence theorem from part one provides a step of this proof, in which we need to show that the infinitesimal convolution of a given QLP evaluated on a normed vector converges. This yields one unified theory for all five concrete notions of non-commutative independence. For any concrete notion of non-commutative independence we finally consider particularly simple additive QLPs over Fock spaces, that are sums of a creation, a preservation, an annihilation process and a generator-specific process. We complete the original task namely the realization of a QLP on a Fock space by transforming the appropriate additive QLP. In particular, this is the first concrete realization of this kind in the free case. In Order to provide an application, we consider the non-commutative analogue of the unitary group, that is a dual semigroup. Due to the unitary property and in the free case regarded as a concrete notion of non-commutative independence, we additionally prove that an infinitesimal convolution of the additive QLP converges in the strong operator topology. Furthermore, in the gaussian case, that is the contribution of the preservation process above vanishes, the infinitesimal convolution of the respective additive QLP converges with respect to operator norm.

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Metadaten
Author: Stefan Voß
URN:urn:nbn:de:gbv:9-001593-2
Title Additional (English):Realisation of Quantum Levy Processes on Fock Spaces
Advisor:Prof. Dr. Uwe Franz, Prof. Dr. Michael Schürmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2013/09/25
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2013/07/15
Release Date:2013/09/25
GND Keyword:Fock-Raum, Freies Produkt, Lévy-Prozess, Nichtkommutative Wahrscheinlichkeit, Tensoralgebra
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:15-XX LINEAR AND MULTILINEAR ALGEBRA; MATRIX THEORY / 15Axx Basic linear algebra / 15A72 Vector and tensor algebra, theory of invariants [See also 13A50, 14L24]
30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Hxx Spaces and algebras of analytic functions / 30H20 Bergman spaces, Fock spaces
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Lxx Selfadjoint operator algebras (C*-algebras, von Neumann (W*-) algebras, etc.) [See also 22D25, 47Lxx] / 46L53 Noncommutative probability and statistics
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Lxx Selfadjoint operator algebras (C*-algebras, von Neumann (W*-) algebras, etc.) [See also 22D25, 47Lxx] / 46L54 Free probability and free operator algebras
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Gxx Stochastic processes / 60G51 Processes with independent increments; Lévy processes