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A new family of universal products and aspects of a non-positive quantum probability theory

  • This thesis revolves around a new concept of independence of algebras. The independence nicely fits into the framework of universal products, which have been introduced to classify independence relations in quantum probability theory; the associated product is called (r,s)-product and depends on two complex parameters r and s. Based on this product, we develop a theory which works without using involutive algebras or states. The following aspects are considered: 1. Classification: Universal products are defined on the free product of algebras (the coproduct in the category of algebras) and model notions of independence in quantum probability theory. We distinguish universal products according to their behaviour on elements of length two, calling them (r,s)-universal products with complex parameters r and s respectively. In case r and s equal 1, Muraki was able to show that there exist exactly five universal products (Muraki’s five). For r equals s nonzero we get five one parameter families (q-Muraki’s five). We prove that in the case r not equal to s the (r,s)-product, a two parameter deformation of the Boolean product, is the only universal product satisfying our set of axioms. The corresponding independence is called (r,s)-independence. 2. Dual pairs and GNS construction: By use of the GNS construction, one can associate a product of representations with every positive universal product. Since the (r,s)-product does not preserve positivity, we need a substitute for the usual GNS construction for states on involutive algebras. In joint work with M. Gerhold, the product of representations associated with the (r,s)-product was determined, whereby we considered representations on dual pairs instead of Hilbert spaces. This product of representations is - as we could show - essentially different from the Boolean product. 3. Reduction and quantum Lévy processes: U. Franz introduced a category theoretical concept which allows a reduction of the Boolean, monotone and antimonotone independence to the tensor independence. This existing reduction could be modified in order to apply to the (r,s)-independence. Quantum Lévy processes with (r,s)-independent increments can, in analogy with the tensor case, be realized as solutions of quantum stochastic differential equations. To prove this theorem, the previously mentioned reduction principle in the sense of U. Franz and a generalization of M. Schürmann’s theory for symmetric Fock spaces over dual pairs are used. As the main result, we obtain the realization of every (r,s)-Lévy process as solution of a quantum stochastic differential equation. When one, more generally, defines Lévy processes in a categorial way using U. Franz’s definition of independence for tensor categories with inclusions, compatibility of the inclusions with the tensor category structure plays an important role. For this thesis such a compatibility condition was formulated and proved to be equivalent to the characterization proposed by M. Gerhold. 4. Limit distributions: We work with so-called dual semigroups in the sense of D. V. Voiculescu (comonoids in the tensor category of algebras with free product). The polynomial algebra with primitive comultiplication is an example for such a dual semigroup. We use a "weakened" reduction which we call reduction of convolution and which essentially consists of a cotensor functor constructed from the symmetric tensor algebra. It turns dual semigroups into commutative bialgebras and also translates the convolution exponentials. This method, which can be nicely described in the categorial language, allows us to formulate central limit theorems for the (r,s)-independence and to calculate the correponding limit distributions (convergence in moments). We calculate the moments appearing in the central limit theorem for the (r,s)-product: The even moments are homogeneous polynomials in r and s with the Eulerian numbers as coefficients; the odd moments vanish. The moment sequence that we get from the central limit theorem for an arbitrary universal product is the moment sequence of a probability measure on the real line if and only if r equals s greater or equal to 1. In this case we present an explicit formula for the probability measure.
  • Im Zentrum der vorliegenden Arbeit steht ein neuer Unabhängigkeitsbegriff für Algebren. Dieser lässt sich im Rahmen sog. universeller Produkte formulieren, die zur Klassifikation von Unabhängigkeitsbegriffen in der Quantenstochastik eingeführt wurden; das zugehörige Produkt heißt (r,s)-Produkt und hängt von komplexen Parametern r und s ab. Um dieses Produkt entwickeln wir eine Theorie, die ohne involutive Algebren und Zustände auskommt. Folgende Aspekte werden betrachtet: 1. Klassifikation: Universelle Produkte sind auf dem freien Produkt von Algebren definiert (das Koprodukt in der Kategorie der Algebren) und beschreiben Unabhängigkeitsbegriffe in der Quantenstochastik. Wir unterscheiden universelle Produkte entsprechend ihrem Verhalten auf Elementen der Länge zwei in sog. (r,s)-universelle Produkte mit komplexen Parametern r und s. Für den Fall, dass r und s gleich 1 sind, konnte N. Muraki zeigen, dass es genau fünf derartige universelle Produkte gibt (Murakis Fünf). Wenn die Parameter r und s übereinstimmen und verschieden von Null sind, erhalten wir fünf Ein-Parameter-Familien (q-Murakis Fünf). Wir beweisen, dass für den Fall r ungleich s das (r,s)-Produkt, eine Zwei-Parameter-Deformation des Booleschen Produktes, das einzige universelle Produkt ist, das dem verwendeten Axiomensystem genügt. Die zugehörige Unabhängigkeit bezeichnen wir als (r,s)-Unabhängigkeit. 2. Duale Paare und GNS-Konstruktion: Mit Hilfe der GNS-Konstruktion lässt sich zu jedem positiven universellen Produkt immer auch ein Produkt von Darstellungen bestimmen. Da das (r,s)-Produkt im "nicht-Booleschen Fall" die Positivität nicht erhält, benötigen wir ein Äquivalent für die gewöhnliche GNS-Konstruktion für Zustände auf involutiven Algebren. In Zusammenarbeit mit M. Gerhold wurde das zur (r,s)-Unabhängigkeit gehörige Darstellungsprodukt ermittelt, wobei Darstellungen auf dualen Paaren anstelle von Hilberträumen betrachtet werden. Das zum (r,s)-Produkt gehörige Darstellungsprodukt unterscheidet sich dabei - wie wir zeigen konnten - wesentlich vom Booleschen Produkt. 3. Reduktion und Quanten-Lévy-Prozesse: Von U. Franz wurde ein kategorientheoretisches Konzept eingeführt, das eine Reduktion der Booleschen, monotonen und antimonotonen Unabhängigkeit auf die Tensor-Unabhängigkeit erlaubt. Diese bestehende Reduktionstheorie konnte so modifiziert werden, dass sie sich auf den (r,s)-Fall anwenden lässt. Quanten-Lévy-Prozesse mit (r,s)-unabhängigen Zuwächsen können, in Analogie zum Tensor-Fall, als Lösungen quantenstochastischer Differentialgleichungen realisiert werden. Um diesen Satz zu zeigen, wird die bereits erwähnte Verallgemeinerung des Reduktionsprinzips im Sinne von U. Franz auf den (r,s)-Fall und eine Verallgemeinerung der Theorie von M. Schürmann auf symmetrische Fock-Räume über dualen Paaren verwendet. Als wesentliches Resultat erhalten wir, dass sich jeder (r,s)-Lévy-Prozess als eindeutige Lösung einer quantenstochastischen Differentialgleichung realisieren lässt. Wenn man allgemeiner Lévy-Prozesse kategorientheoretisch mit U. Franzs Definition von Unabhängigkeit für Tensorkategorien mit Inklusionen beschreiben will, dann spielt die Kompatibilität der Inklusionen mit der Tensorkategorie-Struktur eine wesentliche Rolle. Für die Arbeit wurde eine solche Kompatibilitätsbedingung formuliert und deren Äquivalenz zu der von M. Gerhold formulierten Charakterisierung gezeigt. 4. Grenzverteilungen: Wir arbeiten mit sog. dualen Halbgruppen im Sinne D. V. Voiculescus (Komonoide in der Tensorkategorie der Algebren mit freiem Produkt). Die Polynomalgebra mit primitiver Komultiplikation ist ein Beispiel für eine solche duale Halbgruppe. Wir benutzen eine "abgeschwächte" Reduktion, die wir Reduktion der Faltung nennen und die im Wesentlichen aus einem aus der symmetrischen Tensoralgebra konstruierten Kotensorfunktor besteht, der die Struktur einer dualen Halbgruppe in die einer kommutativen Bialgebra überführt und dabei insb. die jeweiligen Faltungsexponentiale ineinander übsersetzt. Dieses kategorientheoretisch gut zu beschreibende Verfahren ermöglicht uns Zentrale Grenzwertsätze für (r,s)-unabhängige Quanten-Zufallsvariablen zu formulieren und entsprechende Grenzverteilungen (Konvergenz in Momenten) auszurechnen. Wir bestimmen die Momente aus dem Zentralen Grenzwertsatz für das (r,s)-Produkt: Die geraden Momente sind homogene Polynome in r und s mit den Euler-Zahlen als Koeffizienten; die ungeraden Momente verschwinden. Es wird gezeigt, dass die Momentenfolge, die wir aus dem Zentralen Grenzwertsatz für ein universelles Produkt erhalten, genau dann Momentenfolge eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf der reellen Achse ist, wenn r und s übereinstimmen und größer gleich 1 sind. In diesem Fall können wir das Wahrscheinlichkeitsmaß konkret angeben.

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Metadaten
Author: Stephanie Lachs
URN:urn:nbn:de:gbv:9-002242-7
Title Additional (German):Eine neue Familie universeller Produkte und Aspekte einer nicht-positiven Quanten-Wahrscheinlichkeitstheorie
Advisor:Prof. Dr. Uwe Franz, Prof. Dr. Michael Schürmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2015/06/01
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2015/05/13
Release Date:2015/06/01
Tag:GNS-Konstruktion, Kotensorfunktor, Quanten-Lévy-Prozess, duale Halbgruppe, universelles Produkt
Eulerian numbers, non-commutative independences
GND Keyword:Algebra, Bialgebra, Fock-Raum, Funktionalanalysis, Grenzwertsatz, Hopf-Algebra, Kategorientheorie, Lévy-Prozess, Monoidale Kategorie
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:11-XX NUMBER THEORY / 11Bxx Sequences and sets / 11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
18-XX CATEGORY THEORY; HOMOLOGICAL ALGEBRA (For commutative rings see 13Dxx, for associative rings 16Exx, for groups 20Jxx, for topological groups and related structures 57Txx; see also 55Nxx and 55Uxx for algebraic topologyg) / 18Dxx Categories with structure / 18D10 Monoidal categories (= multiplicative categories), symmetric monoidal categories, braided categories [See also 19D23]
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Lxx Selfadjoint operator algebras (C*-algebras, von Neumann (W*-) algebras, etc.) [See also 22D25, 47Lxx] / 46L53 Noncommutative probability and statistics
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Fxx Limit theorems [See also 28Dxx, 60B12] / 60F05 Central limit and other weak theorems
81-XX QUANTUM THEORY / 81Sxx General quantum mechanics and problems of quantization / 81S25 Quantum stochastic calculus