Leonard Schmitz

• Signatures have proven beneficial as features in time series analysis. This work contributes in three major directions to the theory of signatures and its underlying Hopf algebras. In data science, recent works have successfully applied iterated integrals to images. The algebraic picture of two-parameter signatures becomes considerably more involved, and we introduce two-parameter analogues of shuffle and quasi-shuffle Hopf algebras. We furthermore introduce a two-parameter sums signature, together its corresponding quasisymmetric functions. We then show that this novel signature characterizes invariance under dynamic time warping, when applied in both directions independently. We establish the well-definedness of the barycenter, in the sense of Buser and Karcher, for the free nilpotent Lie group of step L. We provide an algorithm for computing it, using methods from Lie theory (namely, the Baker-Campbell-Hausdorff formula) and from the theory of Gröbner bases of modules. Our main motivation are L-truncated iterated-integrals signatures, which are elements in such a Lie group. Finally, we suggest a linear-time attention layer based on signature-type features.
• Signaturen haben sich als nützliche Merkmale in der Zeitreihenanalyse erwiesen. Diese Arbeit leistet in drei wesentlichen Bereichen einen Beitrag zur Theorie der Signaturen und ihrer zugrunde liegenden Hopf-Algebren. In der Datenwissenschaft wurden iterierte Integrale erfolgreich auf Bilder angewendet. Das algebraische Bild von Zweiparameter-Signaturen wird erheblich komplexer, und wir führen Zweiparameter-Analogien der Shuffle- und Quasi-Shuffle-Hopf-Algebren ein. Darüber hinaus führen wir eine Zweiparameter-Summen-Signatur ein, zusammen mit den entsprechenden quasysymmetrischen Funktionen. Wir zeigen dann, dass diese neuartige Signatur die Invarianz unter dynamischer Zeitverzerrung charakterisiert, wenn sie in beide Richtungen unabhängig angewendet wird. Wir stellen die Wohldefiniertheit des Baryzentrums im Sinne von Buser und Karcher für die freie nilpotente Lie-Gruppe vom Schritt L fest. Wir bieten einen Algorithmus zu dessen Berechnung an, der Methoden aus der Lientheorie (nämlich die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel) und der Theorie der Gröbner-Basen von Moduln verwendet. Unsere Hauptmotivation sind L-trunkierte Signaturen iterierter Integrale, die Elemente einer solchen Lie-Gruppe sind. Schließlich schlagen wir eine Attention-Methode mit linearer Laufzeit basierend auf Signatur-ähnlichen Merkmalen vor.