Doctoral Thesis
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Numerische Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben unter Nebenbedingungen mit biologischen Anwendungen
(2010)
In dieser Dissertation wird ein Verfahren zur Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben mit Steuer-Zustandsbeschränkungen vorgestellt. Dazu werden die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzt, die ein System aus algebraischen Gleichungen, Ungleichungen und Differentialgleichungen erzeugen. Dieses System wird mit einem Newton-ähnlichen Ansatz gelöst. Außerdem wird die Erweiterung auf Problemen mit reinen Zustandsbeschränkungen vorgeführt. Eine deutliche Verbesserung der Konvergenzergebnisse kann durch die Anwendung der Fisher-Burmeister-Funktion auf die Komplementaritätsbedingungen erzielt werden. Die Iterationsverfahren werden auf eine Reihe von restringierten Optimalsteuerungsaufgaben (Aufgaben mit reinen Steuerbeschränkungen, gemischten Steuer-Zustandbeschränkungen und reinen Zustandsbeschränkungen für einzelne Zeitpunkte und für das gesamte Optimierungsintervall) angewendet, um ihr Verhalten bei verschiedenen Startwerten sowie unterschiedlichen Schrittweitenansätzen zu untersuchen. Dazu werden zum einen zwei aus der Literatur bekannte Aufgaben (das Rayleigh-Problem und das Minimum-Ernergy-Problem) gelöst und zum anderen werden zwei Probleme mit biologischem Hintergrund untersucht. So wird eine Optimalsteuerungsaufgabe aus der Fischerei um geeignete Einnahmenbedingungen erweitert, die absichern sollen, dass die Fischer keine längeren Phasen ohne Kapitalzuwachs haben. Dazu wird zwischen einer globalen Bedingung und einer Bedingung für endlich viele Zeitpunkte unterschieden. Desweiteren wird ein Modell einer HIV-Erkrankung untersucht, bei dem die numerischen Verfahren, die die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzen, nur für geringe Behandlungszeiten (bis zu 50 Tage) das Problem lösen. Es zeigt sich, dass die Stabilität dieser Verfahren deutlich verbessert werden kann, wenn das Modell um eine Obergrenze für die T-Zellen erweitert wird. Den Abschluss der Dissertation bildet ein Kapitel zur Konvergenzuntersuchung, in dem sich zeigt, dass die verwendeten Iterationsverfahren teilweise von sehr schlechter Konvergenzordnung sind, da die Bedingung für eine lineare Konvergenz nicht erfüllt wird.
In der Dissertation haben wir uns mit dem numerischen Lösen von unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen beschäftigt. Dabei war das Ziel der Arbeit die Homotopie-Methode von Costanza zu untersuchen, kritisch zu hinterfragen und sie zu erweitern. Dazu haben wir zuerst Optimalsteuerungsprobleme untersucht und Resultate aus der Funktionalanalysis zitiert, die wir benötigen, um notwendige Bedingungen für ein unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem herzuleiten. Die zentrale Idee dabei ist, dass wir ein äquivalentes, infinites Optimierungsproblem aufstellen und für dieses die notwendigen Bedingungen herleiten und beweisen. Die erhaltenen Resultate haben wir dann auf unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme übertragen. Ziel des Ansatzes ist es, die unbekannten Anfangs- und Endwerte der Zustände und Adjungierten in Abhängigkeit von frei wählbaren Parametern zu berechnen, so dass nur noch ein reines Anfangs- oder Endwertproblem gelöst werden muss, welches numerisch einfacher zu handhaben ist. Dabei stellte sich im Verlauf der Arbeit heraus, dass Costanzas Ansatz nicht allgemeingültig ist und nur auf spezielle Fälle angewendet werden kann. Wir haben den ursprünglichen Ansatz neu hergeleitet und an den kritischen Stellen angepasst, so dass dieser beispielunabhängig benutzt werden kann. Danach haben wir uns mit der numerische Umsetzung unseres Ansatzes befasst. Zum Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme mit gegebenen Anfangswerten benutzten wir ein in MATLAB implementiertes, explizites Runge-Kutta-Verfahren mit Schrittweitensteuerung. Ein wichtiger Punkt dabei war die Approximation der Jacobi-Matrix der Zustands- und Adjungiertengleichungen mit Hilfe von Complex step differentiation. Diese liefert schnellere und stabilere Approximationen an die ersten Ableitungen als z.B. der zentrale Differenzenquotient, da bei diesem numerische Auslöschung auftreten kann. Weiterhin haben wir direkte und indirekte Verfahren genannt, die man zum Lösen von Optimalsteuerungsproblemen benutzen kann, um die Genauigkeit unseres Ansatzes zu überprüfen. Im letzten Kapitel haben wir unseren Ansatz an verschiedenen Beispielen getestet. Dabei haben wir zuerst unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet, die alle sehr gut gelöst wurden. Dessen numerische Lösung wurde effizient und mit hoher Genauigkeit berechnet. Dies ist insbesondere bemerkenswert, da man mit anderen Ansätzen oft eine gute Startlösung benötigt, damit die jeweiligen Verfahren konvergieren. Abschließend haben wir Beispiele für beschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Diese haben wir mit unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen approximiert, wobei wir in dem Integranden eine Straffunktion eingeführt haben, die mit dem Parameter S gewichtet wurde. Somit konnten wir unter Anwendung unseres erweiterten Ansatzes die ursprünglichen Probleme gut approximieren und für hinreichend große S waren die Lösungen der unbeschränkten und beschränkten Probleme im numerischen Sinne identisch. Dabei unterschied sich in den Beispielen, wie groß das S gewählt werden muss, um eine gute Näherung zu erhalten.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von Optimalsteuerungsproblemen. Dazu wird das Maximumprinzip verwendet, dessen Anwendung auf ein Mehrpunktrandwertproblem führt. Die Aufgabe bestand nun darin, ein Programmpaket zu entwickeln, mit dem solche Mehrpunktrandwertprobleme mit der Mehrzielmethode numerisch gelöst werden können. Dabei wurden verschiedene Anforderungen an das zu entwickelnde Programm gestellt, die bereits existierende Programmpakete nicht oder nur eingeschränkt erfüllen. Die Bedienung soll durch die Verwendung einer grafischen Oberfläche intuitiver und komfortabler gestaltet werden. Ein weiteres Ziel besteht in der Problemunabhängigkeit des Quellcodes, sodass der Quellcode unangetastet bleiben kann. Außerdem sollen für die Benutzung des Programms keine Programmierkenntnisse notwendig sein. Der Funktionsumfang soll im Vergleich zu bestehenden Implementierungen erweitert werden, um die Möglichkeiten der Mehrzielmethode besser ausnutzen sowie die Methoden an das jeweilige zu lösende Problem anpassen zu können. Zunächst werden theoretische Grundlagen der optimalen Steuerung und des Maximumprinzips beschrieben. Die Mehrzielmethode wird vorgestellt und erweitert, sodass mit dieser auch Mehrpunktrandwertprobleme gelöst werden können. Ferner wird auf die Umsetzung der weiteren verwendeten mathematischen Methoden eingegangen. Dazu gehören das Newtonverfahren inklusive Dämpfung und Broydenupdate, verschiedenene Anfangswertproblemlöser (Dormand-Prince- und Rosenbrock-Typ-Verfahren) und die Singulärwertzerlegung, mit der die linearen Gleichungsssysteme gelöst werden. Außerdem werden die Komponenten und Funktionen des Programmpakets beschrieben, beispielsweise die Entwicklung der grafischen Oberfläche. Um das Einlesen der Daten eines Optimalsteuerungsproblems aus der grafischen Oberfläche in das Programm zu ermöglichen, wurde ein Parser verwendet. Die Software enthält Funktionen zur Erstellung von Plots und dem Export von Problemdaten in ein PDF-Dokument. Des Weiteren wird beschrieben, inwieweit die implementierten Verfahren an die Anforderungen eines spezifischen Optimalsteuerungsproblems angepasst werden können. Abschließend werden vier in ihrer Gestalt und ihrem Schwierigkeitsgrad sehr verschiedene Optimalsteuerungsprobleme beispielhaft gelöst. Dazu gehören beispielsweise das als Optimalsteuerungsproblem formulierte Brachistochrone- sowie das Min-Energy-Problem. Anhand der Lösung des Rayleigh-Problems wird gezeigt, wie man die zur Verfügung gestellten Optionen des Programmpakets sinnvoll nutzen kann, um eine Lösung zu bestimmen, die ein aussichtsreicher Kandidat für eine optimale Lösung ist. Abschließend wird ein Wiedereintrittsproblem einer Raumkapsel in die Erdumlaufbahn betrachtet, welches eine besondere Herausforderung darstellt, da das Differenzialgleichungssystem sehr empfindlich reagiert und Lösungen nur für einen kleinen Bereich von Startwerten existieren.
In dieser Dissertation wird eine Problemstellung der Optimalen Steuerung aus dem Bereich der Linearen Elastizitätstheorie dargelegt und gelöst. Die Dissertation gliedert sich in die folgenden Schwerpunkte: Modellierung der Problemstellung, Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den zeitunabhängigen (stationären) bzw. zeitabhängigen (instationären) Problem, die Herleitung der notwendigen Bedingungen für eine ermittelte optimale Lösung und die Berechnung von numerischen Lösungen des stationären bzw. instationären Problems sowie deren Überprüfung der Erfüllung der notwendigen Bedingungen. In der Modellierung werden Gleichungen zur Bestimmung der Deformation (Auslenkung) einer Zylinderschale unter rotations-symmetrischer Krafteinwirkung aus Grundgleichungen der Mechanik (Kräftegleichgewicht, Impulserhaltungssatz) hergeleitet. Bei dieser Herleitung werden die Hypothesen von Mindlin und Reissner verwendet und die spezielle Geometrie der Zylinderschale berücksichtigt. Die Dissertation erbringt den Nachweis der Existenz einer Lösung der modellierten Gleichungen im schwachen Sinne, d.h. für Lösungen in Sobolev-Räumen. Für die Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den stationären und instationären Fall für Praxis relevante Problemstellungen setzen wir das Volumen des Zylinderrohres als konstant voraus (Volumenbedingung). Die Zielstellung der Optimalsteerungsprobleme besteht darin eine optimale Dicke zu bestimmen, welche die integrale Deformation (Auslenkung) der Zylinderschale (im instationären Fall zu einer ausgezeichneten Zeit) minimiert. Eine optimale Lösung (optimale Dicke) muss die notwendige Bedingung erster Ordnung (Variationsungleichung) für alle zulässigen Dicken, welche auch der Volumenbedingung genügen, erfüllen. Die Herleitung der konkreten Form dieser notwendigen Bedingungen für den stationären bzw. für die instationären Fälle wird in der Dissertation dargelegt. Durch die Verwendung der zugehörigen adjungierten Zustände können die notwendigen Bedingungen effizienter formuliert werden. Zur Berechnung einer Lösung der Gleichungen im stationären Fall bzw. in den instationären Fällen wurde die Finite Elemente Methode bzw. die Rothe-Methode im zeitabhängigen Fall verwendet, wobei die Lösungsräume exakt berücksichtigt werden. Das Optimierungsproblem wird diskretisiert und mit fmincon aus der Optimization-Toolbox von Matlab gelöst. Die damit berechneten diskreten optimalen Lösungen (optimale Dicke) für die einzelnen Problemstellungen werden auf die Erfüllung der notwendigen Bedingungen getestet. Die Dissertation wird durch viele Beispiel-Rechnungen abgerundet und deren Lösungen in grafischer Form präsentiert.
