Doctoral Thesis
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In der Dissertation haben wir uns mit dem numerischen Lösen von unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen beschäftigt. Dabei war das Ziel der Arbeit die Homotopie-Methode von Costanza zu untersuchen, kritisch zu hinterfragen und sie zu erweitern. Dazu haben wir zuerst Optimalsteuerungsprobleme untersucht und Resultate aus der Funktionalanalysis zitiert, die wir benötigen, um notwendige Bedingungen für ein unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem herzuleiten. Die zentrale Idee dabei ist, dass wir ein äquivalentes, infinites Optimierungsproblem aufstellen und für dieses die notwendigen Bedingungen herleiten und beweisen. Die erhaltenen Resultate haben wir dann auf unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme übertragen. Ziel des Ansatzes ist es, die unbekannten Anfangs- und Endwerte der Zustände und Adjungierten in Abhängigkeit von frei wählbaren Parametern zu berechnen, so dass nur noch ein reines Anfangs- oder Endwertproblem gelöst werden muss, welches numerisch einfacher zu handhaben ist. Dabei stellte sich im Verlauf der Arbeit heraus, dass Costanzas Ansatz nicht allgemeingültig ist und nur auf spezielle Fälle angewendet werden kann. Wir haben den ursprünglichen Ansatz neu hergeleitet und an den kritischen Stellen angepasst, so dass dieser beispielunabhängig benutzt werden kann. Danach haben wir uns mit der numerische Umsetzung unseres Ansatzes befasst. Zum Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme mit gegebenen Anfangswerten benutzten wir ein in MATLAB implementiertes, explizites Runge-Kutta-Verfahren mit Schrittweitensteuerung. Ein wichtiger Punkt dabei war die Approximation der Jacobi-Matrix der Zustands- und Adjungiertengleichungen mit Hilfe von Complex step differentiation. Diese liefert schnellere und stabilere Approximationen an die ersten Ableitungen als z.B. der zentrale Differenzenquotient, da bei diesem numerische Auslöschung auftreten kann. Weiterhin haben wir direkte und indirekte Verfahren genannt, die man zum Lösen von Optimalsteuerungsproblemen benutzen kann, um die Genauigkeit unseres Ansatzes zu überprüfen. Im letzten Kapitel haben wir unseren Ansatz an verschiedenen Beispielen getestet. Dabei haben wir zuerst unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet, die alle sehr gut gelöst wurden. Dessen numerische Lösung wurde effizient und mit hoher Genauigkeit berechnet. Dies ist insbesondere bemerkenswert, da man mit anderen Ansätzen oft eine gute Startlösung benötigt, damit die jeweiligen Verfahren konvergieren. Abschließend haben wir Beispiele für beschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Diese haben wir mit unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen approximiert, wobei wir in dem Integranden eine Straffunktion eingeführt haben, die mit dem Parameter S gewichtet wurde. Somit konnten wir unter Anwendung unseres erweiterten Ansatzes die ursprünglichen Probleme gut approximieren und für hinreichend große S waren die Lösungen der unbeschränkten und beschränkten Probleme im numerischen Sinne identisch. Dabei unterschied sich in den Beispielen, wie groß das S gewählt werden muss, um eine gute Näherung zu erhalten.
Jedes Metagenom umfasst die gesamte genomische Information eines kompletten Ökosystems. Die Analyse eines solchen Systems bedarf der Bestimmung aller darin enthaltenen Nukleinsäuren, stellvertretend für den Bauplan eines jeden Organismus, um Kenntnis über die in diesem Ökosystem nachweisbaren Organismen zu erlangen. Ferner bietet die diagnostische Metagenomanalyse eine Möglichkeit zur Identifizierung von sowohl bekannten als auch unbekannten Pathogenen. Zu diesem Zweck wird dem Metagenom eine Probe entnommen, welche einen repräsentativen Ausschnitt aller darin vorliegenden Organismen enthält. Da a priori keine Informationen zu den in der Probe enthaltenen Organismen vorliegen, bedarf es einer ungerichteten Methode zur Bestimmung aller enthaltenen Nukleinsäuren. Eine geeignete Lösung bietet die Sequenzierung. Darin werden alle Moleküle der Ausgangsprobe mit ungefähr gleicher Wahrscheinlichkeit bestimmt und der erzeugte Datensatz, bestehend aus Millionen kleiner Sequenzabschnitte, entspricht einem repräsentativen Querschnitt der in der Probe nachweisbaren Organismen. Die Herausforderung besteht in der Zuordnung einer jeden Sequenz zu ihren Ursprungsorganismen und die Sequenzen zu identifizieren, die mit einem potentiellen Erreger assoziiert werden können. Aktuell herrscht ein Defizit an Werkzeugen, die diese Zuordnung sowohl schnell als auch präzise vornehmen und speziell für die diagnostische Metagenomanalyse konzipiert sind. Zu diesem Zweck wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Software-Pipeline mit Namen RIEMS (164) (Reliable Information Extraction from Metagenomic Sequence datasets) entwickelt, die bestehende Software zur Analyse von Sequenzdaten auf eine Weise verknüpft, die deren Stärken ausnutzt und Schwächen eliminiert. RIEMS ist in der Lage mit Hilfe bekannter Alignierungsalgorithmen und dem Abgleich der Sequenzen mit einschlägigen Datenbanken umfangreiche Datensätze schnell zu analysieren und Nukleinsäuresequenzen präzise ihren putativen Ursprungstaxa zuzuordnen (164). Die vorliegende Arbeit verdeutlicht die Effizienz dieses Computerprogramms im Vergleich zu bestehenden Software-Pipelines. Des Weiteren illustriert sie dessen möglichen Einsatz in der Diagnostik zur Pathogenidentifizierung anhand einiger Beispiele. Dabei können nicht nur bekannte Organismen identifiziert werden, sondern auch unbekannte, noch nicht näher beschriebene Organismen detektiert werden.