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Homotopie-Methoden zum Lösen von Optimalsteuerungsproblemen

  • In der Dissertation haben wir uns mit dem numerischen Lösen von unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen beschäftigt. Dabei war das Ziel der Arbeit die Homotopie-Methode von Costanza zu untersuchen, kritisch zu hinterfragen und sie zu erweitern. Dazu haben wir zuerst Optimalsteuerungsprobleme untersucht und Resultate aus der Funktionalanalysis zitiert, die wir benötigen, um notwendige Bedingungen für ein unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem herzuleiten. Die zentrale Idee dabei ist, dass wir ein äquivalentes, infinites Optimierungsproblem aufstellen und für dieses die notwendigen Bedingungen herleiten und beweisen. Die erhaltenen Resultate haben wir dann auf unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme übertragen. Ziel des Ansatzes ist es, die unbekannten Anfangs- und Endwerte der Zustände und Adjungierten in Abhängigkeit von frei wählbaren Parametern zu berechnen, so dass nur noch ein reines Anfangs- oder Endwertproblem gelöst werden muss, welches numerisch einfacher zu handhaben ist. Dabei stellte sich im Verlauf der Arbeit heraus, dass Costanzas Ansatz nicht allgemeingültig ist und nur auf spezielle Fälle angewendet werden kann. Wir haben den ursprünglichen Ansatz neu hergeleitet und an den kritischen Stellen angepasst, so dass dieser beispielunabhängig benutzt werden kann. Danach haben wir uns mit der numerische Umsetzung unseres Ansatzes befasst. Zum Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme mit gegebenen Anfangswerten benutzten wir ein in MATLAB implementiertes, explizites Runge-Kutta-Verfahren mit Schrittweitensteuerung. Ein wichtiger Punkt dabei war die Approximation der Jacobi-Matrix der Zustands- und Adjungiertengleichungen mit Hilfe von Complex step differentiation. Diese liefert schnellere und stabilere Approximationen an die ersten Ableitungen als z.B. der zentrale Differenzenquotient, da bei diesem numerische Auslöschung auftreten kann. Weiterhin haben wir direkte und indirekte Verfahren genannt, die man zum Lösen von Optimalsteuerungsproblemen benutzen kann, um die Genauigkeit unseres Ansatzes zu überprüfen. Im letzten Kapitel haben wir unseren Ansatz an verschiedenen Beispielen getestet. Dabei haben wir zuerst unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet, die alle sehr gut gelöst wurden. Dessen numerische Lösung wurde effizient und mit hoher Genauigkeit berechnet. Dies ist insbesondere bemerkenswert, da man mit anderen Ansätzen oft eine gute Startlösung benötigt, damit die jeweiligen Verfahren konvergieren. Abschließend haben wir Beispiele für beschränkte Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Diese haben wir mit unbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen approximiert, wobei wir in dem Integranden eine Straffunktion eingeführt haben, die mit dem Parameter S gewichtet wurde. Somit konnten wir unter Anwendung unseres erweiterten Ansatzes die ursprünglichen Probleme gut approximieren und für hinreichend große S waren die Lösungen der unbeschränkten und beschränkten Probleme im numerischen Sinne identisch. Dabei unterschied sich in den Beispielen, wie groß das S gewählt werden muss, um eine gute Näherung zu erhalten.
  • In this thesis we dealt with the numerical treatment of unconstrained problems of optimal control. The goal of this study was to investigate the homotopy method of Costanza and to critically question and expand it. For this purpose, we first investigated problems of optimal control and cited results from functional analysis which were used to derive necessary conditions for unconstrained problems. The main idea is to examine an equivalent, infinite optimization problem and to derive the necessary conditions. The results obtained were applied to unconstrained problems of optimal control. The aim of this approach is to calculate the unknown initial and final values of the state and adjoint functions with regards to freely selectable parameters. This leads to an initial or final value problem which is easier to solve. As it turned out, the homotopy method of Costanza can only be applied to specific cases. We corrected the original approach and generalised it. Afterwards we dealt with the numerical implementation of this approach. We used an explicit Runge-Kutta method with step control (MATLAB: ode45) to solve the ordinary differential equations with given initial values. An important point was the approximation of the Jacobian of the state and adjoint equations using complex step differentiation. This provides faster and more stable approximations to the first derivatives as the central difference quotient which might lead to numerical cancellation. Furthermore, we cited direct and indirect methods that one can use to solve problems of optimal control. We used them to verify the accuracy of our approach. In the last chapter we applied our approach to different examples. We first considered unconstrained problems of optimal control which were all solved very well. The numerical solution was computed efficiently and had high accuracy. This is particularly noteworthy since other approaches often require a good initial solution to ensure convergence. Then we investigated constrained examples. We approximated them with unconstrained problems of optimal control using a penalty function which was weighted by the parameters S. Thus, we were able to approximate the original problems well and for sufficiently large S the solutions of the unconstrained and constrained problems were numerically identical. The examples differed in the size of S which had to be chosen for a good approximation.

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Metadaten
Author: Christoph Lass
URN:urn:nbn:de:gbv:9-002346-9
Title Additional (English):Homotopy methods for solving problems of optimal control
Advisor:Prof. Dr. Matthias Gerdts, Prof. Dr. Bernd Kugelmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2015/11/05
Granting Institution:Ernst-Moritz-Arndt-Universität, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (bis 31.05.2018)
Date of final exam:2015/10/23
Release Date:2015/11/05
Tag:Gewöhnliche Differentialgleichungen
Homotopy methods, Optimal control
GND Keyword:Homotopie, Numerische Mathematik, Optimalsteuerung
Faculties:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik und Informatik
DDC class:500 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Mxx Numerical methods [See also 90Cxx, 65Kxx] / 49M05 Methods based on necessary conditions