Refine
Year of publication
Document Type
- Doctoral Thesis (21)
Language
- German (21) (remove)
Has Fulltext
- yes (21)
Is part of the Bibliography
- no (21)
Keywords
- Numerische Mathematik (4)
- Optimale Kontrolle (3)
- Optimale Steuerung (3)
- Robuste Statistik (2)
- 1H-NMR (1)
- Abweichung (1)
- Akute lymphatische Leukämie (1)
- Algorithmus (1)
- Approximationsalgorithmus (1)
- Assemblierung (1)
Institute
- Institut für Mathematik und Informatik (21) (remove)
Die Arbeit befasst sich mit der Parameterbestimmung in gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen aus gegebenen Messdaten. Als Zielfunktion wird die quadratische Abweichungen betrachtet, ebenso wie die Betragssummen- und Tschebyschev-Norm der Differenz von der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung und des Messwert-Vektors. Zur Anwendung kommen dabei sowohl iterative Optimierungsverfahren als auch direkte Methoden der optimalen Steuerung.
In dieser Dissertation wird eine Problemstellung der Optimalen Steuerung aus dem Bereich der Linearen Elastizitätstheorie dargelegt und gelöst. Die Dissertation gliedert sich in die folgenden Schwerpunkte: Modellierung der Problemstellung, Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den zeitunabhängigen (stationären) bzw. zeitabhängigen (instationären) Problem, die Herleitung der notwendigen Bedingungen für eine ermittelte optimale Lösung und die Berechnung von numerischen Lösungen des stationären bzw. instationären Problems sowie deren Überprüfung der Erfüllung der notwendigen Bedingungen. In der Modellierung werden Gleichungen zur Bestimmung der Deformation (Auslenkung) einer Zylinderschale unter rotations-symmetrischer Krafteinwirkung aus Grundgleichungen der Mechanik (Kräftegleichgewicht, Impulserhaltungssatz) hergeleitet. Bei dieser Herleitung werden die Hypothesen von Mindlin und Reissner verwendet und die spezielle Geometrie der Zylinderschale berücksichtigt. Die Dissertation erbringt den Nachweis der Existenz einer Lösung der modellierten Gleichungen im schwachen Sinne, d.h. für Lösungen in Sobolev-Räumen. Für die Formulierung der Optimalsteuerungsprobleme für den stationären und instationären Fall für Praxis relevante Problemstellungen setzen wir das Volumen des Zylinderrohres als konstant voraus (Volumenbedingung). Die Zielstellung der Optimalsteerungsprobleme besteht darin eine optimale Dicke zu bestimmen, welche die integrale Deformation (Auslenkung) der Zylinderschale (im instationären Fall zu einer ausgezeichneten Zeit) minimiert. Eine optimale Lösung (optimale Dicke) muss die notwendige Bedingung erster Ordnung (Variationsungleichung) für alle zulässigen Dicken, welche auch der Volumenbedingung genügen, erfüllen. Die Herleitung der konkreten Form dieser notwendigen Bedingungen für den stationären bzw. für die instationären Fälle wird in der Dissertation dargelegt. Durch die Verwendung der zugehörigen adjungierten Zustände können die notwendigen Bedingungen effizienter formuliert werden. Zur Berechnung einer Lösung der Gleichungen im stationären Fall bzw. in den instationären Fällen wurde die Finite Elemente Methode bzw. die Rothe-Methode im zeitabhängigen Fall verwendet, wobei die Lösungsräume exakt berücksichtigt werden. Das Optimierungsproblem wird diskretisiert und mit fmincon aus der Optimization-Toolbox von Matlab gelöst. Die damit berechneten diskreten optimalen Lösungen (optimale Dicke) für die einzelnen Problemstellungen werden auf die Erfüllung der notwendigen Bedingungen getestet. Die Dissertation wird durch viele Beispiel-Rechnungen abgerundet und deren Lösungen in grafischer Form präsentiert.
Numerische Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben unter Nebenbedingungen mit biologischen Anwendungen
(2010)
In dieser Dissertation wird ein Verfahren zur Lösung von Optimalsteuerungsaufgaben mit Steuer-Zustandsbeschränkungen vorgestellt. Dazu werden die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzt, die ein System aus algebraischen Gleichungen, Ungleichungen und Differentialgleichungen erzeugen. Dieses System wird mit einem Newton-ähnlichen Ansatz gelöst. Außerdem wird die Erweiterung auf Problemen mit reinen Zustandsbeschränkungen vorgeführt. Eine deutliche Verbesserung der Konvergenzergebnisse kann durch die Anwendung der Fisher-Burmeister-Funktion auf die Komplementaritätsbedingungen erzielt werden. Die Iterationsverfahren werden auf eine Reihe von restringierten Optimalsteuerungsaufgaben (Aufgaben mit reinen Steuerbeschränkungen, gemischten Steuer-Zustandbeschränkungen und reinen Zustandsbeschränkungen für einzelne Zeitpunkte und für das gesamte Optimierungsintervall) angewendet, um ihr Verhalten bei verschiedenen Startwerten sowie unterschiedlichen Schrittweitenansätzen zu untersuchen. Dazu werden zum einen zwei aus der Literatur bekannte Aufgaben (das Rayleigh-Problem und das Minimum-Ernergy-Problem) gelöst und zum anderen werden zwei Probleme mit biologischem Hintergrund untersucht. So wird eine Optimalsteuerungsaufgabe aus der Fischerei um geeignete Einnahmenbedingungen erweitert, die absichern sollen, dass die Fischer keine längeren Phasen ohne Kapitalzuwachs haben. Dazu wird zwischen einer globalen Bedingung und einer Bedingung für endlich viele Zeitpunkte unterschieden. Desweiteren wird ein Modell einer HIV-Erkrankung untersucht, bei dem die numerischen Verfahren, die die notwendigen Bedingungen an eine optimale Lösung benutzen, nur für geringe Behandlungszeiten (bis zu 50 Tage) das Problem lösen. Es zeigt sich, dass die Stabilität dieser Verfahren deutlich verbessert werden kann, wenn das Modell um eine Obergrenze für die T-Zellen erweitert wird. Den Abschluss der Dissertation bildet ein Kapitel zur Konvergenzuntersuchung, in dem sich zeigt, dass die verwendeten Iterationsverfahren teilweise von sehr schlechter Konvergenzordnung sind, da die Bedingung für eine lineare Konvergenz nicht erfüllt wird.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse und Modellierung des Microarrayexperiments. Hierfür wird das gesamte Experiment in fünf Teilprozesse zerlegt, die Reverse Transkription, die Hybridisierung, das Waschen, die Fluoreszenz und die Detektion. Jeder Teilprozess wurde separat modelliert und analysiert. Anschließend wurde die Teilprozesse im Gesamtmodell vereint und dieses für verschiedene Parametersituationen simuliert. Diese Arbeit ermöglicht eine mathematische Handhabung des Microarrayexperiments und deckt seine Abhängigkeit von den einzelnen Schritten des Experiments auf. Dies kann benutzt werden, um Normalisierung und Analyse zu verbessern.
Die Arbeit untersucht die Geometrie selbstähnlicher Mengen endlichen Typs, indem die möglichen Nachbarschaften kleiner Teile klassifiziert und ihr Zusammenhang untersucht werden. Anwendungen sind die Dimension von selbstähnlichen Maßen und überlappenden Konstruktionen sowie die Bestimmung von Zusammenhangseigenschaften.
Maligne Erkrankungen zeigen oft charakteristische genetische Veränderungen. Das Auffinden derartiger Veränderungen wurde in den letzten Jahren durch verfeinerte molekulare Techniken erleichtert. Viele genetische Ereignisse in den maligne transformierten Zellen sind jedoch noch ungeklärt. Die präzise Bestimmung der Bruchpunktregionen chromosomaler Veränderungen bei T-Zell akuten lymphatischen Leukämien ist Inhalt dieser Arbeit. Hierzu wurde die „Fine Tiling-Comparative Genomhybridisierung“ (FT-CGH) mit der „Ligation mediated-PCR“ (LM-PCR) kombiniert. Diese Methoden wurden zunächst an Zelllinien etabliert und anschließend in verschiedenen Leukämieproben eingesetzt. Chromosomale Aberrationen gehen häufig mit Verlust oder Gewinn von genetischem Material einher. Diese unbalancierten Anomalien lassen sich durch die Comparative Genomhybridisierung (CGH) ermitteln. Dieses Verfahren ermöglicht Differenzen der DNA-Menge einer zu untersuchenden Probe bezogen auf eine interne Kontrollprobe zu detektieren. Bei der Fine Tiling-CGH werden gezielt chromosomale Abschnitte hochauflösend auf eventuelle Abweichungen des DNA-Gehaltes analysiert. Anschließend werden die detektierten Bruchpunktregionen der DNA Schwankungen mittels der LM-PCR untersucht. Ein Abgleich mit einer internen Kontrollzelllinie HEK 293-T lässt atypische PCR-Fragmente bei der untersuchten Probe aufspüren. Der anschließende Sequenzabgleich unter der Verwendung des BLASTn Suchprogramms (National Center for Biotechnology Information) führte in den untersuchten Zelllinien, wie auch in den T-Zell akuten lymphatischen Leukämieproben zur Identifizierung verschiedener genomischer Veränderungen. Neben einfachen Deletionen wurden auch bisher ungeklärte komplexere chromosomale Translokationen nachgewiesen. So konnte unter anderem bei einer lymphoblastischen T-Zell-Leukämie die Translokation t(12;14)(q23;q11.2) auf genomischer Ebene geklärt werden. Hierbei fand im Abschnitt 14q11 innerhalb des TRA/D Locus eine Deletion von 89 Kilobasen statt. Die Bruchenden wurden mit der Sequenz des open reading frames C12orf42, welches im 12q23 Chromosomenabschnitt lokalisiert ist, zusammengelagert. Bei dieser chromosomalen Aberration wurde die C12orf42 Sequenz zerstört und 1,3 Kilobasen deletiert. Des Weiteren konnte bei einer akuten lymphoblastischen T-Zell-Leukämie die Inversion inv(14)(q11q32) mit involvierten TRA/D und IGH Locus auf Sequenzebene geklärt werden. Der Bruch des 14q11 Bereiches fand zwischen dem Genabschnitt der konstanten Region (TRAC) des TRA/D Locus und dem DAD1 (defender against cell death 1) Gens statt, wobei im beteiligten genetischen Abschnitt keine Rekombinasesignalsequenz (RSS) zu finden ist. Dieses belegt, dass fehlerhafte Umlagerungen innerhalb des Genoms nicht ausschließlich auf die Rekombinase zurückzuführen sind. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Kombination aus FT-CGH und LM-PCR eine präzise Bruchpunktanalyse unbekannter chromosomaler Aberrationen, welche mit Imbalancen einhergehen, ermöglicht. Diese genaue Analyse dient der Identifizierung von Genen, welche direkt und indirekt durch diese genomischen Umlagerungen betroffen sind. Das Wissen über diese Veränderungen kann für das Verständnis der Pathogenese, für diagnostische Zwecke und zum Nachweis der minimalen Resterkrankung eingesetzt werden. Eine Klärung beteiligter Gene und Signalwege wird es erlauben, zielgerichtete und individualisierte Therapiestrategien zu entwickeln.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von Optimalsteuerungsproblemen. Dazu wird das Maximumprinzip verwendet, dessen Anwendung auf ein Mehrpunktrandwertproblem führt. Die Aufgabe bestand nun darin, ein Programmpaket zu entwickeln, mit dem solche Mehrpunktrandwertprobleme mit der Mehrzielmethode numerisch gelöst werden können. Dabei wurden verschiedene Anforderungen an das zu entwickelnde Programm gestellt, die bereits existierende Programmpakete nicht oder nur eingeschränkt erfüllen. Die Bedienung soll durch die Verwendung einer grafischen Oberfläche intuitiver und komfortabler gestaltet werden. Ein weiteres Ziel besteht in der Problemunabhängigkeit des Quellcodes, sodass der Quellcode unangetastet bleiben kann. Außerdem sollen für die Benutzung des Programms keine Programmierkenntnisse notwendig sein. Der Funktionsumfang soll im Vergleich zu bestehenden Implementierungen erweitert werden, um die Möglichkeiten der Mehrzielmethode besser ausnutzen sowie die Methoden an das jeweilige zu lösende Problem anpassen zu können. Zunächst werden theoretische Grundlagen der optimalen Steuerung und des Maximumprinzips beschrieben. Die Mehrzielmethode wird vorgestellt und erweitert, sodass mit dieser auch Mehrpunktrandwertprobleme gelöst werden können. Ferner wird auf die Umsetzung der weiteren verwendeten mathematischen Methoden eingegangen. Dazu gehören das Newtonverfahren inklusive Dämpfung und Broydenupdate, verschiedenene Anfangswertproblemlöser (Dormand-Prince- und Rosenbrock-Typ-Verfahren) und die Singulärwertzerlegung, mit der die linearen Gleichungsssysteme gelöst werden. Außerdem werden die Komponenten und Funktionen des Programmpakets beschrieben, beispielsweise die Entwicklung der grafischen Oberfläche. Um das Einlesen der Daten eines Optimalsteuerungsproblems aus der grafischen Oberfläche in das Programm zu ermöglichen, wurde ein Parser verwendet. Die Software enthält Funktionen zur Erstellung von Plots und dem Export von Problemdaten in ein PDF-Dokument. Des Weiteren wird beschrieben, inwieweit die implementierten Verfahren an die Anforderungen eines spezifischen Optimalsteuerungsproblems angepasst werden können. Abschließend werden vier in ihrer Gestalt und ihrem Schwierigkeitsgrad sehr verschiedene Optimalsteuerungsprobleme beispielhaft gelöst. Dazu gehören beispielsweise das als Optimalsteuerungsproblem formulierte Brachistochrone- sowie das Min-Energy-Problem. Anhand der Lösung des Rayleigh-Problems wird gezeigt, wie man die zur Verfügung gestellten Optionen des Programmpakets sinnvoll nutzen kann, um eine Lösung zu bestimmen, die ein aussichtsreicher Kandidat für eine optimale Lösung ist. Abschließend wird ein Wiedereintrittsproblem einer Raumkapsel in die Erdumlaufbahn betrachtet, welches eine besondere Herausforderung darstellt, da das Differenzialgleichungssystem sehr empfindlich reagiert und Lösungen nur für einen kleinen Bereich von Startwerten existieren.
In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur Bestimmung von Toleranzbereichen für 1H-NMR-Spektren von Neugeborenenurinen zur Detektion von angeborenen Stoffwechselerkrankungen vorgestellt. Diese Krankheiten werden durch genetische Defekte ausgelöst, die eine schwerwiegende Funktionsstörung im Stoffwechselkreislauf verursachen. Die dadurch entstehenden Krankheitsbilder führen in der Regel zu Behinderungen und oftmals zum Tod. Eine frühe Diagnose und Behandlung können in vielen Fällen ein Überleben ohne Symptome ermöglichen. Beim derzeitigen Neugeborenenscreening werden in Deutschland zwölf der häufigsten Stoffwechselerkrankungen routinemäßig abgetestet - weit über hundert sind aktuell bekannt. Basierend auf einem Referenzdatensatz von 695 Neugeborenenurinspektren, werden in dieser Arbeit mathematische Methoden zur Bestimmung von Toleranzbereichen entwickelt, die eine ungezielte Detektion von Abweichungen ermöglichen, um schwerwiegende Krankheiten wie angeborene Stoffwechselerkrankungen frühzeitig und routinemäßig diagnostizieren zu können. Das Verfahren basiert dabei auf der robusten Ermittlung von Verteilungsfunktionen, Toleranzbereichen und Identifikation von Ausreißern für eindimensionale Stichproben von unbekannten Verteilungen. Mithilfe einer von der Box-Cox-Transformation abgeleiteten Transformationsfamilie, werden die gemessenen Kenngrößen in normalverteilte Stichproben überführt. Für die Bestimmung der optimalen Transformationsparameter wird die Teststatistik des Shapiro-Wilk-Tests auf Normalverteilung der transformierten Stichprobe verwendet. Die Betrachtung verschiedener links- und rechtsseitiger Trimmungen sichert dabei eine robuste Bestimmung, die nicht von Ausreißern innerhalb des Referenzdatensatzes beeinflusst wird. Anhand von Simulationsstudien wird die Leistung dieses Verfahrens an Stichproben mit bekannten Verteilungen ermittelt und demonstriert. Die Anwendbarkeit an abgeleiteten Kenngrößen aus den realen Urinspektren wird zunächst anhand von Metabolitenkonzentrationen gezeigt. Hierfür wurden im Rahmen dieser Arbeit Methoden zur Identifikation und Quantifikation von 22 ausgewählten Metaboliten entwickelt. Für die ungezielte Analyse werden aus den NMR-Spektren abstrakte Kenngrößen abgeleitet, welche die Protonenkonzentrationen in verschiedenen chemischen Verschiebungsbereichen zusammenfassen (sogenannte Bucketierung). Dadurch wird jedes Signal, unabhängig von Molekül oder funktioneller Gruppe, erfasst und ausgewertet. Bei der in dieser Arbeit verwendeten Strategie entstehen dadurch 500 Messwerte pro Spektrum, von denen 479 (96%) in normalverteilte Variablen überführt werden können. Für diese werden schließlich Toleranzbereiche definiert, um Messungen von weiteren Urinproben abzugleichen. Zusätzlich wird ausgehend von den transformierten Variablen eine Möglichkeit dargestellt, auch multivariate Toleranzbereiche auf Basis der Mahalanobisdistanz zu ermitteln, welche die Sensitivität des Tests auf abweichende Signale signifikant erhöht. Anhand einer Spiking-Simulationsstudie mit ca. 500.000 Spektren, bei denen die Signale von elf Verbindungen, die in Zusammenhang mit angeborenen Stoffwechselerkrankungen stehen, numerisch zu den Referenzspektren addiert werden, können Detektionsraten in Abhängigkeit der Konzentrationen dieser Verbindungen ermittelt werden.
Jump penalized L1-Regression
(2012)
Die vorgelegte Arbeit beschäftigt sich mit Kurvenschätzung in einem Regressionsmodell für eindimensionale verrauschte Daten, welche die Ausreißer enthalten können. Dabei ist die Regression Funktion, also Funktion welche a priori unbekannt ist und welche geschätzt werden soll, eine beliebige absolut-integrierbare Funktion auf dem Intervall [0, 1) und Regression Schätzer eine Stückweise-konstante Funktion auf dem Intervall [0, 1). Die von uns betrachtende Schätzer sind stückweise-konstante Funktionen, welche die L1-Version den sogenannten Potts Funktional minimieren (s. [8]). Das L1 Potts Funktional ist so gewählt, dass einerseits die Komplexität des Schätzers in Form der Anzahl ihrer Sprünge beachtet wird und anderseits die absolute Abweichungen von den Daten betrachtet werden. Die Stufen des Minimierers vom L1 Potts Funktional entsprechen den lokalen Medianen von verrauschten Daten, im Gegensatz dazu entsprechen die Stufen des Minimierers von dem klassischen Potts Funktional (L2-Fall) den lokalen Mittelwerten von den Daten. Der Vorteil der L1-Version gegenüber L2-Version des Potts Funktionals kann dadurch erklärt werden, dass die Mediane bekannterweise viel robuster gegen Ausreißer als Mittelwerte sind. In der vorgelegten Arbeit wurden die asymptotischen Eigenschaften sowohl von der L1 Potts Funktionals als auch von seinen Minimierer studiert. Unter anderem, es konnte die Konsistenz des Schätzers für den Fall, dass die Originalfunktion f selbst eine Stufenfunktion ist, gezeigt werden. Dies stellt das Hauptergebnis der Arbeit dar. Konsistenz heißt hier, dass unter bestimmten Bedingungen die Minimierer vom L1 Potts Funktional gegen die Originalfunktion f konvergieren.